數(shù)列{an}滿足：a1+
1
2
a2+
1
22
a3+…+
1
2n-1
an=6-
2n+3
2n-1
．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{cn}滿足：cn=an+2，又{bn}是首項為6，公差為1的等差數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，不等式
a
(1+
1
c1
)(1+
1
c2
)(1+
1
c3
)…(1+
1
cn
)
-
1
n-2+bn
≤0恒成立，求正數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）利用遞推式，再寫一式，兩式相減，即可求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）確定數(shù)列的通項，
a
(1+
1
c1
)(1+
1
c2
)(1+
1
c3
)…(1+
1
cn
)
-
1
n-2+bn
≤0等價于a≤
4
3
•
6
5
•…
2n+2
2n+1
2n+3
，確定右邊的單調(diào)性，求最值，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵a1+
1
2
a2+
1
22
a3+…+
1
2n-1
an=6-
2n+3
2n-1
，
∴n≥2時，a1+
1
2
a2+
1
22
a3+…+
1
2n-2
an-1=6-
2n+1
2n-2

∴兩式相減可得
1
2n-1
an=
2n-1
2n-1

∴an=2n-1
n=1時，a1=1，也滿足上式，
∴an=2n-1
（2）cn=an+2=2n+1，
∵{bn}是首項為6，公差為1的等差數(shù)列，
∴bn=n+5，
a
(1+
1
c1
)(1+
1
c2
)(1+
1
c3
)…(1+
1
cn
)
-
1
n-2+bn
≤0等價于a≤
4
3
•
6
5
•…
2n+2
2n+1
2n+3

令f（n）=
4
3
•
6
5
•…
2n+2
2n+1
2n+3
，則f（n+1）=
4
3
•
6
5
•…
2n+4
2n+3
2n+5

∴
f(n+1)
f(n)
=
2n+4
(2n+3)(2n+5)
=
4n2+16n+16
4n2+16n+15
＞1
∴f（n+1）＞f（n）
∴n=1時，f（n）最小，即
4
5
15

∴a≤
4
5
15
．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c為實數(shù)，且c≠0．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=
an+3
2
，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若an+1=an，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=
1
2
時，證明：an＜
3
2
；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{an-1}的前n項之積為Tn．若對任意正整數(shù)n，總有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•天津模擬）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c為實數(shù)，且c≠0．
（1）求證：a≠1時數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列，并求an；
（2）設(shè)a=
1
2
c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；
（3）設(shè)a=
3
4
，c=-
1
4
，cn=
3+an
2-an
(n∈N*)，記dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{dn}的前n項和為Tn，求證：對任意正整數(shù)n都有Tn＜
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•大連二模）已知a為實數(shù)，數(shù)列{an}滿足a1=a，當(dāng)n≥2時，an=
an-1-4 (an-1＞4)
5-an-1 (an-1≤4)

（I）當(dāng)a=200時，填寫下列表格；
N 2 3 51 200
an
（II）當(dāng)a=200時，求數(shù)列{an}的前200項的和S200；
（III）令b n=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2…+bn求證：當(dāng)1＜a＜
5
3
時，T n＜
5-3a
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知常數(shù)a、b都是正整數(shù)，函數(shù)f(x)=
x
bx+1
（x＞0），數(shù)列{an}滿足a1=a，
1
an+1
=f(
1
an
)（n∈N*）
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若a=8b，且等比數(shù)列{bn}同時滿足：①b1=a1，b2=a5；②數(shù)列{bn}的每一項都是數(shù)列{an}中的某一項．試判斷數(shù)列{bn}是有窮數(shù)列或是無窮數(shù)列，并簡要說明理由；
（3）對問題（2）繼續(xù)探究，若b2=am（m＞1，m是常數(shù)），當(dāng)m取何正整數(shù)時，數(shù)列{bn}是有窮數(shù)列；當(dāng)m取何正整數(shù)時，數(shù)列{bn}是無窮數(shù)列，并說明理由．

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同步練習(xí)冊答案