Question

5．若曲線${C_1}：y=1+\sqrt{-{x^2}+2x}$與曲線C₂：（y-1）•（y-kx-2k）=0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 作出兩曲線圖象，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷直線的斜率范圍即可．

解答 解：由y=1+$\sqrt{-{x}^{2}+2x}$得（x-1）²+（y-1）²=1（y≥1），
曲線C₁表示以（1，1）為圓心以1為半徑的上半圓，
顯然直線y=1與曲線C₁有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)為半圓的兩個(gè)端點(diǎn)．
∴直線y=kx+2k=k（x+2）與半圓有2個(gè)除端點(diǎn)外的交點(diǎn)，

當(dāng)直線y=k（x+2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）時(shí)，k=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)直線y=k（x+2）與半圓相切時(shí)，$\frac{|3k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{3}{4}$或k=0（舍），
∴當(dāng)$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{3}{4}$時(shí)，直線y=k（x+2）與半圓有2個(gè)除端點(diǎn)外的交點(diǎn)，
故答案為：$（\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程解與函數(shù)圖象的關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．