Question

18．設(shè)變量x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5≤0}\\{x-y-2≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，則目標(biāo)函數(shù)z=4^x•8^y的最大值為512．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則先化簡(jiǎn)z，然后令m=2x+3y，利用m的幾何意義以及利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：z=4^x•8^y=z=2^2x•2^3y=2^2x+3y，
設(shè)m=2x+3y
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由m=2x+3y得y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$m，
平移直線y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$m，由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，
直線y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$m的截距最大，此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（3，1），
此時(shí)m_max=2×3+3×1=9，
則z_max=2⁹=512，
故答案為：512．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算法則先進(jìn)行化簡(jiǎn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．