Question

7．已知函數(shù)$f（x）=xcosx-\frac{a}{x}sinx-sinx，x∈（{-kπ，0}）∪（{0，kπ}）$（其中k為正整數(shù)，a∈R，a≠0），則f（x）的零點個數(shù)為（　�。�

• A． 2k-2
• B． 2k
• C． 2k-1
• D． 與a有關(guān)

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）零點的個數(shù)等于方程xcosx-sinx=$\frac{a}{x}$sinx，x∈（-kπ，0）∪（0，kπ）解的個數(shù)；
設(shè)y₁=xcosx-sinx，y₂=$\frac{a}{x}$sinx，利用導(dǎo)數(shù)研究兩個函數(shù)的單調(diào)性與交點個數(shù)，即可求出答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=xcosx-$\frac{a}{x}$sinx-sinx，x∈（-kπ，0）∪（0，kπ）的零點的個數(shù)
等于方程xcosx-sinx=$\frac{a}{x}$sinx，x∈（-kπ，0）∪（0，kπ）解的個數(shù)；
設(shè)y₁=xcosx-sinx，y₂=$\frac{a}{x}$sinx，
∵y₁′=-xsinx，∴y₁=xcosx-sinx
在…，（-5π，-4π），（-3π，-2π），（-π，0），（0，π），（2π，3π），（4π，5π），…上單調(diào)遞減；
在…，（-4π，-3π），（-2π，-π），（π，2π），（3π，4π），…上單調(diào)遞增；
如圖中實線所示；
y₂′=a$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，由y₁=xcosx-sinx的圖象可得：
a＞0時，y₂=$\frac{a}{x}$sinx的圖象，如圖中虛線所示；
則函數(shù)f（x）共有2k-1個零點；
由函數(shù)圖象的對稱性可得，
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）零點個數(shù)仍為2k-1個．
故選：C．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)零點與方程根的應(yīng)用問題，是難題．