2.已知公比小于1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=$\frac{1}{2},7{a_2}=2{S_3}$.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=log2(1-Sn+1),若$\frac{1}{{{b_1}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_3}{b_5}}}+…+\frac{1}{{{b_{2n-1}}{b_{2n+1}}}}=\frac{5}{21}$,求n.

分析 (1)設出公比,利用已知條件求出公比,然后求解數(shù)列的通項公式.
(2)求出數(shù)列的和,推出通項公式,化簡所求表達式.利用裂項求和求解即可.

解答 解:(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q,
∵7a2=2S3,∴5a2=2a1+2a3,…(2分)
則2q2-5q+2=0,解得$q=\frac{1}{2}$或q=2(舍去),…(4分)
故${a_n}=\frac{1}{2}•{({\frac{1}{2}})^{n-1}}={({\frac{1}{2}})^n}$…(6分)
(2)∵${S_{n+1}}=\frac{{\frac{1}{2}({1-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}})}}{{1-\frac{1}{2}}}=1-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$,…(8分)
∴bn=log2(1-Sn+1)=-n-1,…(9分)
∴$\frac{1}{{{b_{2n-1}}{b_{2n+1}}}}=\frac{1}{{({-2n})({-2n-2})}}=\frac{1}{4}({\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}})$,…(10分)$\frac{1}{{{b_1}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_3}{b_5}}}+…+\frac{1}{{{b_{2n-1}}{b_{2n+1}}}}=\frac{1}{4}[{({1-\frac{1}{2}})+({\frac{1}{2}-\frac{1}{3}})+…+({\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}})}]=\frac{1}{4}({1-\frac{1}{n+1}})$,…(11分)
由$\frac{1}{4}({1-\frac{1}{n+1}})=\frac{5}{21}$,得n=20…(12分)

點評 本題開心數(shù)列的通項公式的求法,數(shù)列求和,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

練習冊系列答案
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