Question

已知函數(shù)f（x）=

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x³-x²-3x+3a
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）對(duì)任意的x∈[a，3a]（a＞0），f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo) f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），從而由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）對(duì)任意的x∈[a，3a]（a＞0），f（x）≥0恒成立可化為f_min（x）≥0，從而討論求函數(shù)的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

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x³-x²-3x+3a，
∴f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
故當(dāng)x＜-1或x＞3時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞）；
（Ⅱ）對(duì)任意的x∈[a，3a]（a＞0），f（x）≥0恒成立可化為f_min（x）≥0，
①當(dāng)3a≤3，即0＜a≤1時(shí)，f（x）在[a，3a]上是減函數(shù)，
f_min（x）=f（3a）=

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（3a）³-（3a）²-3•3a+3a=3a（3a²-3a-2）≥0；
無(wú)解；
②當(dāng)1＜a＜3時(shí)，f（x）在[a，3a]上先減后增，
f_min（x）=f（3）=

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•3³-3²-3•3+3a=-9+3a≥0；
無(wú)解；
③當(dāng)a≥3時(shí)，f（x）在[a，3a]上為增函數(shù)，
故f_min（x）=f（a）=

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•a³-a²-3•a+3a≥0，
化簡(jiǎn)得，a≥3．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．