Question

9．已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²-2ax+5．
（1）若a＞1，且函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[1，a]，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若不等式x|f（x）-x²|≤1對x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷出f（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性列方程解出；（2）問題轉(zhuǎn)化為a≥$\frac{5x-1}{{2x}^{2}}$且a≤$\frac{5x+1}{{2x}^{2}}$在x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=a＞1，
∴f（x）在[1，a]上單調(diào)遞減，
∴f（1）=a，即6-2a=a，解得a=2．
（2）不等式x|f（x）-x²|≤1對x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，
即x|2ax-5|≤1對x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，
故a≥$\frac{5x-1}{{2x}^{2}}$且a≤$\frac{5x+1}{{2x}^{2}}$在x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，
令g（x）=$\frac{5x-1}{{2x}^{2}}$，x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，則g′（x）=-$\frac{2x（5x-2）}{{4x}^{4}}$，
令g′（x）＞0，解得：$\frac{1}{3}$≤x＜$\frac{2}{5}$，令g′（x）＜0，解得：$\frac{2}{5}$＜x≤$\frac{1}{2}$，
故g（x）在[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{5}$）遞增，在（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$]遞減，
故g（x）_max=g（$\frac{2}{5}$）=$\frac{25}{8}$，
令h（x）=$\frac{5x+1}{{2x}^{2}}$，x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，h′（x）=$\frac{-2x（5x+2）}{{4x}^{4}}$＜0，
故h（x）在x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]遞減，
h（x）_min=h（$\frac{1}{2}$）=7，
綜上：$\frac{25}{8}$≤a≤7．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．