7.已知函數(shù)f(x)=x2+mx,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,Sn)(n∈N*)均在y=f(x)圖象上,且a1,a3,a9成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}通項(xiàng)公式為bn=$\frac{(2n+1)(-1)^{n-1}}{{S}_{n}}$,前n項(xiàng)和為Tn,求Tn,并判定Tn的單調(diào)性.

分析 (Ⅰ)運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系,結(jié)合等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì),計(jì)算即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)化簡bn,討論n的奇偶性,運(yùn)用相消求和,作差即可判斷單調(diào)性.

解答 解:(Ⅰ)點(diǎn)n均在y=f(x)圖象上,∴${S_n}={n^2}+mn$,①
∴$n≥2時(shí),{S_{n-1}}={(n-1)^2}+m(n-1)$,②
①-②得∴an=2n-1+m,
又∵a1=S1=1+m,
綜上${a_n}=2n-1+m(n∈{N^*})$,
又∵a1,a3,a9成等比數(shù)列,
∴(5+m)2=(1+m)(17+m),
∴m=1,
∴an=2n;
(Ⅱ)bn=$\frac{(2n+1)(-1)^{n-1}}{{S}_{n}}$=$\frac{(2n+1)(-1)^{n-1}}{n(n+1)}$=(-1)n-1($\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$),
n為偶數(shù)時(shí),Tn=($\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$)-($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$)+…-($\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$)=1-$\frac{1}{n+1}$;
n為奇數(shù)時(shí),Tn=($\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$)-($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$)+…+($\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$)=1+$\frac{1}{n+1}$;
則Tn=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{n+1},n為偶數(shù)}\\{1+\frac{1}{n+1},n為奇數(shù)}\end{array}\right.$;
由n≥2時(shí),Tn-Tn-1=bn=(-1)n-1($\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$),
則Tn無單調(diào)性.

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì),考查分類討論思想方法,以及化簡整理運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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