【題目】已知直線過橢圓的右焦點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),且交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在直線上的射影依次為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線交軸于點(diǎn),且,當(dāng)變化時(shí),證明: 為定值;
(3)當(dāng)變化時(shí),直線與是否相交于定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo),并給予證明;否則,說明理由.
【答案】(1);(2)見解析;(3).
【解析】試題分析:(1)由題設(shè)條件求出橢圓的右焦點(diǎn)與上頂點(diǎn)坐標(biāo),即可得出、的值,再求出的值即可求得橢圓的方程;(2)設(shè),聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合韋達(dá)定理得出與,再根據(jù)及,從而可表示出,化簡(jiǎn)即可得證;(3))當(dāng)時(shí),易得與相交于點(diǎn),可猜想: 變化時(shí), 與相交于點(diǎn),再證明猜想成立即可.
試題解析:(1)∵過橢圓的右焦點(diǎn),
∴右焦點(diǎn),即,
又∵的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),
∴,即,
∴橢圓的方程;
(2)由得, ,
設(shè),則,
∵,
∴,
∴,
∴,
綜上所述,當(dāng)變化時(shí), 的值為定值;
(3)當(dāng)時(shí),直線軸,則為矩形,易知與是相交于點(diǎn),猜想與相交于點(diǎn),證明如下:
∵,
∵,
∴,即三點(diǎn)共線.
同理可得三點(diǎn)共線,
則猜想成立,即當(dāng)變化時(shí), 與相交于定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)某地區(qū)鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款(年底余額)如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
時(shí)間代號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
儲(chǔ)蓄存款(千億元) | 3.5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9.5 |
(1)求關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年的人民幣儲(chǔ)蓄存款(用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答).
(2)在含有一個(gè)解釋變量的線性模型中,恰好等于相關(guān)系數(shù)的平方,當(dāng)時(shí),認(rèn)為線性回歸模型是有效的,請(qǐng)計(jì)算并且評(píng)價(jià)模型的擬合效果(計(jì)算結(jié)果精確到).
附:
, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為4萬元,并且每生產(chǎn)1百臺(tái)產(chǎn)品需增加投入0.8萬元.已知銷售收入(萬元)滿足(其中是該產(chǎn)品的月產(chǎn)量,單位:百臺(tái)),假定生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉,請(qǐng)完成下列問題:
(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù);
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí),公司所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn),直線被橢圓截得弦長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)圓與橢圓交于兩點(diǎn), 為線段上任意一點(diǎn),直線交橢圓于兩點(diǎn)為圓的直徑,且直線的斜率大于,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定點(diǎn),定直線,動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比點(diǎn)到的距離小1.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與(1)中軌跡C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N,若,求直線的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某籃球隊(duì)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員練習(xí)罰球,每人練習(xí)10組,每組罰球40個(gè).命中個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖,則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的一個(gè)是( )
A. 甲的極差是29 B. 甲的中位數(shù)是24
C. 甲罰球命中率比乙高 D. 乙的眾數(shù)是21
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某智能手機(jī)制作完成之后還需要依次通過三道嚴(yán)格的審核程序,第一道審核、第二道審核、第三道審核通過的概率分別為, , ,每道程序是相互獨(dú)立的,且一旦審核不通過就停止審核,每部手機(jī)只有三道程序都通過才能出廠銷售.
(1)求審核過程中只通過兩道程序的概率;
(2)現(xiàn)有3部該智能手機(jī)進(jìn)入審核,記這3部手機(jī)可以出廠銷售的部數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的離心率為,焦距為,拋物線: 的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn).
(1)求與的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)上不同于的兩點(diǎn), 滿足,且直線與相切,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)程為(為參數(shù)),設(shè)直線與的交點(diǎn)為,當(dāng)變化時(shí)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求出曲線的普通方程;
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)為曲線的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最小值.
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