Question

已知圓C與兩坐標(biāo)軸都相切，圓心C到直線y=-x的距離等于

2

．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓心在第一象限，點(diǎn)P是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求x²+y²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由圓C與兩坐標(biāo)軸都相切，設(shè)出圓心C的坐標(biāo)為（a，a），可得圓的半徑r=|a|，又圓心C到直線y=-x的距離等于

2

，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，進(jìn)而確定出圓C的方程；
（2）由圓心C在第一象限，由第一問的結(jié)論得出圓C的方程，確定出圓心及半徑，求出圓心C到原點(diǎn)的距離d，根據(jù)d+r為圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值，d-r為圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值，根據(jù)求出的最值平方即可得到x²+y²的取值范圍．

解答：解：（1）根據(jù)題意設(shè)出圓心C坐標(biāo)為（a，a），半徑r=|a|，
∴圓心C到直線y=-x的距離d=

|2a|

2

，又d=

2

，
∴|2a|=2，即|a|=1，
解得：a=1或a=-1，
則圓C的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1或（x+1）²+（y+1）²=1；
（2）∵圓心在第一象限，
∴圓C的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，
又P（x，y）為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，
∴x²+y²的表示圓上的點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的平方，
∵圓心C到原點(diǎn)的距離d=

2

，圓的半徑r=1，
∴圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為d+r=

2

+1，最小值為d-r=

2

-1，
則x²+y²的范圍是[（

2

-1）²，（

2

+1）²]，即[3-2

2

，3+2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，切線的性質(zhì)，其中x²+y²的表示圓山的點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的平方，進(jìn)而根據(jù)題意得出圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為d+r及最小值為d-r是解本題的關(guān)鍵．