Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）滿足f（0）=-1，方程f（x）=x-1只有一個(gè)根，且f（-

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+x）=f（-

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-x）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)g（x）=log 

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（f（a））^x在（-∞，+∞）上為減函數(shù)？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)建立方程條件即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）滿足f（0）=-1，
∴f（0）=c=-1，
∵f（-

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+x）=f（-

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-x），
∴函數(shù)關(guān)于x=-

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對(duì)稱，
則x=-

b

2a

=-

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2

，即a=b，
則f（x）=ax²+ax-1，
則f（x）=x-1，即ax²+ax-1=x-1，
則ax²+（a-1）x=0，
∵f（x）=x-1只有一個(gè)根，
∴△=（a-1）²-0=0，
解得a=1，則b=1，
即函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x²+x-1；
（2）若存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)g（x）=log 

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（f（a））^x在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知函數(shù)y=f（a）^x在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
即f（a）=a²+a-1＞1，即a²+a-2＞0；
解得a＞1或a＜-2，
即當(dāng)a＞1或a＜-2時(shí)，函數(shù)g（x）=log 

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[（f（a）]^x在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)解析式的求解以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，綜合性較強(qiáng)．