Question

12．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sinC-sinA（cosB+$\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinB$）=0
（1）求A；
（2）若$a=4\sqrt{3}$，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知等式可求tanA=$\sqrt{3}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），可得A的值．
（2）由正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式可求b+c=8$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），結(jié)合范圍B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求b+c=8$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）的范圍．

解答 解：（1）∵sinC-sinA（cosB+$\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinB$）=0，
∴sinC=sinA（cosB+$\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinB$），可得：sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+$\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinB$sinA，
∴cosAsinB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinB$sinA，
∵B為三角形內(nèi)角，sinB≠0，
∴可得：tanA=$\sqrt{3}$，由于A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，$a=4\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8，可得：b=8sinB，c=8sinC=8sin（$\frac{2π}{3}$-B），
∴b+c=8sinB+8sin（$\frac{2π}{3}$-B）=8sinB+4$\sqrt{3}$cosB+4sinB=8$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB）=8$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），可得：B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），可得：sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴b+c=8$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）∈$（4\sqrt{3}，8\sqrt{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．