Question

已知F₁、F₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若M為橢圓上一點(diǎn)，且△MF₁F₂的內(nèi)切圓的周長等于3π，則滿足條件的點(diǎn)M有
（ ）個(gè)．
A．0
B．1
C．2
D．4

Answer 1

【答案】分析：設(shè)△MF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑等于r，根據(jù)2πr=3π，求得 r 的值，由橢圓的定義可得  MF₁ +MF₂=2a，故△MF₁F₂的面積等于  （ MF₁ +MF₂+2c ）r=8r，又△MF₁F₂的面積等于  2c y_M=12，求出y_M的值，可得答案．
解答：解：設(shè)△MF₁F₂的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓的半徑等于r，則由題意可得 2πr=3π，∴r=．
由橢圓的定義可得  MF₁ +MF₂=2a=10，又 2c=6，
∴△MF₁F₂的面積等于  （ MF₁ +MF₂+2c ）r=8r=12．
又△MF₁F₂的面積等于  2c y_M=12，∴y_M=4，故 M是橢圓的短軸頂點(diǎn)，故滿足條件的點(diǎn)M有2個(gè)，
故選  C．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出 y_M=4，是解題的關(guān)鍵．