Question

定義為有限項(xiàng)數(shù)列的波動(dòng)強(qiáng)度.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求；

（Ⅱ）若數(shù)列滿(mǎn)足，求證：；

（Ⅲ）設(shè)各項(xiàng)均不相等，且交換數(shù)列中任何相鄰兩項(xiàng)的位置，都會(huì)使數(shù)列的波動(dòng)強(qiáng)度增加，求證：數(shù)列一定是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列.

Answer 1

（Ⅰ）解：    ………………1分

.          ………………3分

（Ⅱ）證明：因?yàn)?sub>，

，

所以.  ……4分

因?yàn)?sub>，所以，或.

若，則

當(dāng)時(shí)，上式，

當(dāng)時(shí)，上式，

當(dāng)時(shí)，上式，

即當(dāng)時(shí)，.   ………………6分

若，

則，

.（同前）

所以，當(dāng)時(shí)，成立.     ……………7分

（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）易知對(duì)于四個(gè)數(shù)的數(shù)列，若第三項(xiàng)的值介于前兩項(xiàng)的值之間，則交換第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的位置將使數(shù)列波動(dòng)強(qiáng)度減小或不變.（將此作為引理）

下面來(lái)證明當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列.

（ⅰ）證明.

若，則由引理知交換的位置將使波動(dòng)強(qiáng)度減小或不變，與已知矛盾.

若，則，與已知矛盾.

所以，.                                      ………………9分

（ⅱ）設(shè)，證明.

若，則由引理知交換的位置將使波動(dòng)強(qiáng)度減小或不變，與已知矛盾.

若，則，與已知矛盾.

所以，.                                             …………11分

（ⅲ）設(shè)，證明.

若，考查數(shù)列，

則由前面推理可得，與矛盾.

所以，.                                         ……………12分

綜上，得證.

同理可證：當(dāng)時(shí)，有為遞增數(shù)列.            ………………13分