Question

14．已知f（x）=sinx-cosx，x∈[0，+∞）．
（1）證明：$sinx-f（x）≥1-\frac{x^2}{2}$；
（2）證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）≤e^ax-2．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$g（x）=cosx+\frac{x^2}{2}-1$，則g'（x）=-sinx+x，x∈[0，+∞），再次構(gòu)造函數(shù)h（x）=-sinx+x，則h'（x）=-cosx+1≥0在x∈[0，+∞）時(shí)恒成立，可得g'（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，可得$cosx+\frac{x^2}{2}-1≥0$，即可得證．
（2）由（1）可知，不等式${e^{ax}}-\frac{x^2}{2}-x-1≥0$，對(duì)x∈[0，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)$M（x）={e^x}-\frac{x^2}{2}-x-1$，令m（x）=e^x-x-1，則m'（x）=e^x-1，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，m'（x）≥0，可得${e^x}-\frac{x^2}{2}-x-1≥0$恒成立，從而得證，當(dāng)a≥1時(shí)，不等式f（x）≤e^ax-2恒成立．

解答 解：（1）不等式$sinx-f（x）≥1-\frac{x^2}{2}$，即不等式$cosx≥1-\frac{x^2}{2}$，…（1分）
設(shè)$g（x）=cosx+\frac{x^2}{2}-1$，則g'（x）=-sinx+x，x∈[0，+∞），…（2分）
再次構(gòu)造函數(shù)h（x）=-sinx+x，則h'（x）=-cosx+1≥0在x∈[0，+∞）時(shí)恒成立，
所以函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以h（x）≥h（0）=0，
所以g'（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
所以函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以g（x）≥g（0）=0，
所以$cosx+\frac{x^2}{2}-1≥0$，
所以$cosx≥1-\frac{x^2}{2}$，即$sinx-f（x）≥1-\frac{x^2}{2}$成立．…（6分）
（2）由（1）的解析可知，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，sinx≤x且$cosx≥1-\frac{x^2}{2}$，
所以$f（x）=sinx-cosx≤x-（{1-\frac{x^2}{2}}）$，…（7分）
當(dāng)$x-（{1-\frac{x^2}{2}}）≤{e^{ax}}-2$對(duì)x∈[0，+∞）恒成立時(shí)，不等式f（x）≤e^ax-2恒成立，
不等式$x-（{1-\frac{x^2}{2}}）≤{e^{ax}}-2$，即不等式${e^{ax}}-\frac{x^2}{2}-x-1≥0$，對(duì)x∈[0，+∞）恒成立，…（8分）
構(gòu)造函數(shù)$M（x）={e^x}-\frac{x^2}{2}-x-1$，
則M'（x）=e^x-x-1，
令m（x）=e^x-x-1，
則m'（x）=e^x-1，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，m'（x）≥0，
故m（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以m（x）≥m（0）=0，故M'（x）≥0，即M（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以M（x）≥M（0）=0，
故${e^x}-\frac{x^2}{2}-x-1≥0$恒成立，…（11分）
故當(dāng)a≥1時(shí)，${e^{ax}}-\frac{x^2}{2}-x-1≥{e^x}-\frac{x^2}{2}-x-1≥0$，
即當(dāng)a≥1時(shí)，不等式f（x）≤e^ax-2恒成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．