Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（0，1）∪（9，+∞）
【解析】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，
作出函數(shù)y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的圖象，
當(dāng)a≤0，兩個(gè)函數(shù)的圖象不可能有4個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，
則a＞0，此時(shí)g（x）=a|x﹣1|= ，
當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），
當(dāng)直線和拋物線相切時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），
即x2+（3﹣a）x+a=0，
則由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，
當(dāng)a=9時(shí)，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此時(shí)不成立，∴此時(shí)a=1，
要使兩個(gè)函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則此時(shí)0＜a＜1，
若a＞1，此時(shí)g（x）=﹣a（x﹣1）與f（x），有兩個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)只需要當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=g（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即可，
即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，
則由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，
綜上a的取值范圍是（0，1）∪（9，+∞），
方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，
若x=1，則4=0不成立，
故x≠1，
則方程等價(jià)為a= = =| |=|x﹣1+ +5|，
設(shè)g（x）=x﹣1+ +5，
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）=x﹣1+ +5≥ ，當(dāng)且僅當(dāng)x﹣1= ，即x=3時(shí)取等號，
當(dāng)x＜1時(shí)，g（x）=x﹣1+ +5 =5﹣4=1，當(dāng)且僅當(dāng)﹣（x﹣1）=﹣ ，即x=﹣1時(shí)取等號，
則|g（x）|的圖象如圖：
若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，
則滿足a＞9或0＜a＜1，
所以答案是：（0，1）∪（9，+∞）