【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|.
(1)當(dāng)a=2時(shí),求證:﹣3≤f(x)≤3;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤x2﹣8x+20在R恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析.(2)
【解析】
(1)代入,利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得,進(jìn)而得證;
(2)分及兩種情況討論,每種情況下都把函數(shù)f(x)化為分段函數(shù)的形式,再根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式,每種情況解出后最后取并集即可.
(1)證明:當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|,
∴||x﹣2|﹣|x﹣5|||x﹣2﹣(x﹣5)|=3,
∴﹣3|x﹣2|﹣|x﹣5|3,即﹣3f(x)3;
(2)解:f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|,
①當(dāng)a5時(shí),,則f(x)max=a﹣5,且y=x2﹣8x+20=x2﹣8x+16+4=(x﹣4)2+44,
要使f(x) x2﹣8x+20在R恒成立,則只需4a﹣5,則a9,此時(shí)5a9;
②當(dāng)a<5時(shí),,
需要恒成立,
∴,
∴,
綜合①②可知,0a9,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,9].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥BC,BB1BC,D是CC1的中點(diǎn).
(1)證明:B1C⊥平面ABD;
(2)若AB=BC,E是A1C1的中點(diǎn),求二面角A﹣BD﹣E的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩廠均生產(chǎn)某種零件.根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果:甲、乙兩廠生產(chǎn)的零件質(zhì)量(單位:)均服從正態(tài)分布,在出廠檢測(cè)處,直接將質(zhì)量在之外的零件作為廢品處理,不予出廠;其它的準(zhǔn)予出廠,并稱為正品.
(1)出廠前,從甲廠生產(chǎn)的該種零件中抽取10件進(jìn)行檢查,求至少有1片是廢品的概率;
(2)若規(guī)定該零件的“質(zhì)量誤差”計(jì)算方式為:該零件的質(zhì)量為,則“質(zhì)量誤差”.按標(biāo)準(zhǔn),其中“優(yōu)等”、“一級(jí)”、“合格”零件的“質(zhì)量誤差”范圍分別是,、(正品零件中沒(méi)有“質(zhì)量誤差”大于的零件),每件價(jià)格分別為75元、65元、50元.現(xiàn)分別從甲、乙兩廠生產(chǎn)的正品零件中隨機(jī)抽取100件,相應(yīng)的“質(zhì)量誤差”組成的樣本數(shù)據(jù)如下表(用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,將頻率視為概率):
質(zhì)量誤差 | |||||||
甲廠頻數(shù) | 10 | 30 | 30 | 5 | 10 | 5 | 10 |
乙廠頻數(shù) | 25 | 30 | 25 | 5 | 10 | 5 | 0 |
(。┯浖讖S該種規(guī)格的2件正品零件售出的金額為(元),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(ⅱ)由上表可知,乙廠生產(chǎn)的該規(guī)格的正品零件只有“優(yōu)等”、“一級(jí)”兩種,求5件該規(guī)格零件售出的金額不少于360元的概率.
附:若隨機(jī)變量.則;,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)進(jìn)行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng),抽獎(jiǎng)箱中有大小完全相同的4個(gè)小球,分別標(biāo)有“A”“B”“C”“D”.顧客從中任意取出1個(gè)球,記下上面的字后放回箱中,再?gòu)闹腥稳?/span>1個(gè)球,重復(fù)以上操作,最多取4次,并規(guī)定若取出“D”字球,則停止取球.獲獎(jiǎng)規(guī)則如下:依次取到標(biāo)有““A”“B”“C”“D”字的球?yàn)橐坏泉?jiǎng);不分順序取到標(biāo)有“A”“B”“C”“D”字的球,為二等獎(jiǎng);取到的4個(gè)球中有標(biāo)有“A”“B”“C”三個(gè)字的球?yàn)槿泉?jiǎng).
(1)求分別獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率;
(2)設(shè)摸球次數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn=an+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)到直線的距離為3.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn),在線段上,且滿足,求點(diǎn)軌跡方程,并指出軌跡是什么圖形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年底,湖北省武漢市等多個(gè)地區(qū)陸續(xù)出現(xiàn)感染新型冠狀病毒肺炎的患者.為及時(shí)有效地對(duì)疫情數(shù)據(jù)進(jìn)行流行病學(xué)統(tǒng)計(jì)分析,某地研究機(jī)構(gòu)針對(duì)該地實(shí)際情況,根據(jù)該地患者是否有武漢旅行史與是否有確診病例接觸史,將新冠肺炎患者分為四類:有武漢旅行史(無(wú)接觸史),無(wú)武漢旅行史(無(wú)接觸史),有武漢旅行史(有接觸史)和無(wú)武漢旅行史(有接觸史),統(tǒng)計(jì)得到以下相關(guān)數(shù)據(jù).
(1)請(qǐng)將列聯(lián)表填寫完整:
有接觸史 | 無(wú)接觸史 | 總計(jì) | |
有武漢旅行史 | 27 | ||
無(wú)武漢旅行史 | 18 | ||
總計(jì) | 27 | 54 |
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為有武漢旅行史與有確診病例接觸史有關(guān)系?
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,過(guò)橢圓C:上一點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為,已知,分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),A,B分別是橢圓C的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn),且,.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn),記直線PM,PN,MN的斜率分別為,問(wèn):是否為定值?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】天上有些恒星的亮度是會(huì)變化的,其中一種稱為造父(型)變星,本身體積會(huì)膨脹收縮造成亮度周期性的變化.第一顆被描述的經(jīng)典造父變星是在1784年.
上圖為一造父變星的亮度隨時(shí)間的周期變化圖,其中視星等的數(shù)值越小,亮度越高,則此變星亮度變化的周期、最亮?xí)r視星等,分別約是( )
A.5.5,3.7B.5.4,4.4C.6.5,3.7D.5.5,4.4
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