Question

已知f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f（2）=0，當(dāng)x＞0時，2f（x）+xf′（x）＞0，則不等式f（x）＞0的解集為

（-2，0）∪（2，+∞）

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Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x），求出g′（x）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷出當(dāng)x＞0時，g（x）=x²f（x）單調(diào)遞增；根據(jù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，判斷出g（x）為R上的奇函數(shù)，結(jié)合g（x）的性質(zhì)得到g（x）＞0的解集，進(jìn)一步求出所以不等式f（x）＞0的解集．

解答：解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x），
所以g′（x）=2xf（x）+x²f′（x），
因?yàn)楫?dāng)x＞0時，2f（x）+xf′（x）＞0，
所以當(dāng)x＞0時，g′（x）＞0，
所以當(dāng)x＞0時，g（x）=x²f（x）單調(diào)遞增；
因?yàn)閒（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
所以g（x）=x²f（x）為R上的奇函數(shù)，
所以g（0）=0，g（x）在x＜0時也為增函數(shù)，
因?yàn)閒（2）=0，
所以g（2）=0，
所以g（x）＞0的解集為{x|-2＜x＜0或x＞2}
所以不等式f（x）＞0的解集為 （-2，0）∪（2，+∞）；
故答案為：（-2，0）∪（2，+∞）

點(diǎn)評：本題通過導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，屬于一道中檔題．