【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣alnx(a∈R)
(1)當(dāng)a=2時,求曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=1﹣ .
當(dāng)a=2時,f(x)=x﹣2lnx,f′(x)=1﹣ (x>0),
因而f(1)=1,f′(1)=﹣1,
所以曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程為y﹣1=﹣(x﹣1),
即x+y﹣2=0
(2)解:由f′(x)=1﹣ = ,x>0知:
①當(dāng)a≤0時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù),函數(shù)f(x)無極值;
②當(dāng)a>0時,由f′(x)=0,解得x=a.
又當(dāng)x∈(0,a)時,f′(x)<0,當(dāng)x∈(a,+∞)時,f′(x)>0.
從而函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=a﹣alna,無極大值.
綜上,當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)無極值;
當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值a﹣alna,無極大值
【解析】(1)把a=2代入原函數(shù)解析式中,求出函數(shù)在x=1時的導(dǎo)數(shù)值,直接利用直線方程的點斜式寫直線方程;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)可知,當(dāng)a≤0時,f′(x)>0,函數(shù)在定義域(0,+∝)上單調(diào)遞增,函數(shù)無極值,當(dāng)a>0時,求出導(dǎo)函數(shù)的零點,由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段,利用原函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值.
【考點精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線: (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)分別求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線交曲線于, 兩點,交曲線于, 兩點,求線段的長.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓心為C的圓過點A(0,﹣6)和B(1,﹣5),且圓心在直線l:x﹣y+1=0上.
(1)求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點M(2,8)作圓的切線,求切線方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù),滿足f(x)+f(y)=f(xy).
(1)求證: ;
(2)若f(4)=﹣4,解不等式 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l:2x+y﹣1=0與圓C:x2+y2=1相交于A,B兩點.
(1)求△AOB的面積(O為坐標(biāo)原點);
(2)設(shè)直線ax+by=1與圓C:x2+y2=1相交于M,N兩點(其中a,b是實數(shù)),若OM⊥ON,試求點P(a,b)與點Q(0,1)距離的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正四棱錐S﹣ABCD中,E,M,N分別是BC,CD,SC的中點,動點P在線段MN上運動時,下列四個結(jié)論中恒成立的個數(shù)為( )
(1)EP⊥AC;
(2)EP∥BD;
(3)EP∥面SBD;
(4)EP⊥面SAC.
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=2bsinA,則cosA+sinC的取值范圍是 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年空氣質(zhì)量逐步霧霾天氣現(xiàn)象增多,大氣污染危害加重,大氣污染可引起心悸,呼吸困難等心肺疾病,為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機的對入院50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合計 | |
男 | 5 | ||
女 | 10 | ||
合計 | 50 |
已知在全部50人中隨機抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率為.
(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)?說明你的理由;
(2)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患胃病,現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中,選出3名進(jìn)行其他方面的排查,記選出患胃病的女性人數(shù)為,求的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差,下面的臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式,其中.)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(, 是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(2)當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com