Question

【題目】已知函數(shù)y=f（x），若在定義域內(nèi)存在x0 ， 使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，則稱x0為函數(shù)f（x）的局部對稱點．
（I）若a∈R且a≠0，求函數(shù)f（x）=ax2+x﹣a的“局部對稱點”；
（II）若函數(shù)f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3在R上有局部對稱點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+x﹣a，得f（﹣x）=ax2﹣x﹣a，代入f（﹣x）=﹣f（x），得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0，即ax2﹣a=0（a≠0），
∴x=±1，
∴函數(shù)f（x）=ax2+x﹣a的局部對稱點是±1；
（Ⅱ）∵f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3，由f（﹣x）=﹣f（x），
得4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3），
于是4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0①在R上有解，
令t=2x+2﹣x ， （t≥2），則4x+4﹣x=t2﹣2，
∴方程①變?yōu)閠2﹣2mt+2m2﹣8=0在區(qū)間[2，+∞）內(nèi)有解，
令g（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，由題意需滿足以下條件：
g（2）≤0或 ，
解得 或 ，
綜上
【解析】（Ⅰ）直接由奇函數(shù)的定義列式求得x值得答案；（Ⅱ）由f（﹣x）=﹣f（x），可得4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0在R上有解，令t=2x+2﹣x ， （t≥2），則4x+4﹣x=t2﹣2，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[2，+∞）內(nèi)有解，令g（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，由題意需滿足以下條件：g（2）≤0或 ，求解得答案．
【考點精析】利用函數(shù)的定義域及其求法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．