Question

已知數(shù)列．
（I）設(shè)，證明：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（III）設(shè)對(duì)一切正整數(shù)n均成立，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵=，
∴{b_n}為等差數(shù)列，公差為1．
又b₁=0，∴b_n=n-1，∴． …（4分）
（Ⅱ）解：設(shè)，則
3．∴．
∴．
∴．…（8分）
（Ⅲ）解：由已知得，從而求得
猜測(cè)C₁最大，下證：
∵=，
∴存在k=1，使得C_n≤C_k對(duì)一切正整數(shù)n均成立． …（12分）
分析：（Ⅰ），利用等差數(shù)列的定義，即可證明{b_n}為等差數(shù)列，公差為1，由此可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列的求和公式，即可求得結(jié)論；
（Ⅲ）根據(jù)通項(xiàng)計(jì)算前幾項(xiàng)，猜測(cè)C₁最大，再進(jìn)行證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的定義，考查錯(cuò)位相減法求和，考查恒成立問(wèn)題，正確運(yùn)用求和是關(guān)鍵．