Question

某工廠師徒二人各加工相同型號的零件2個，是否加工出精品均互不影響．已知師傅加工一個零件是精品的概率為

2

3

，徒弟加工一個零件是精品的概率為

1

2

，師徒二人各加工2個零件．
（1）求徒弟加工該零件的精品數(shù)多于師傅的概率．
（2）設師徒二人加工出的4個零件中精品個數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）設師傅加工出i個精品零件的事件為A_i，徒弟加工出i個精品零件的事件為B_i，（i=0，1，2），則P（A₀）=（

1

3

）²=

1

9

，P(A1)

=C

1 2

(

1

3

)•

2

3

=

4

9

，P（B₁）=

C

1 2

(

1

2

)2=

1

2

，P（B₂）=(

1

2

)2=

1

4

，由此能求出徒弟加工該零件的精品數(shù)多于師傅的概率．
（2）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列與期望Eξ．

解答： 解：（1）設師傅加工出i個精品零件的事件為A_i，
徒弟加工出i個精品零件的事件為B_i，（i=0，1，2），
則P（A₀）=（

1

3

）²=

1

9

，P(A1)

=C

1 2

(

1

3

)•

2

3

=

4

9

，
P（B₁）=

C

1 2

(

1

2

)2=

1

2

，P（B₂）=(

1

2

)2=

1

4

，
∴徒弟加工該零件的精品數(shù)多于師傅的概率：
p=P（A₀B₁）+P（A₀B₂）+P（A₁B₂）
=

1

9

×

1

2

+

1

9

×

1

4

+

4

9

×

1

4

=

7

36

．
（2）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（A₂）=(

2

3

)2=

4

9

，P（B₀）=(

1

2

)2=

1

4

，
P（ξ=0）=

1

9

×

1

4

=

1

36

，
P（ξ=1）=

4

9

×

1

4

+

1

9

×

1

2

=

1

6

，
P（ξ=2）=

4

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

+

1

9

×

1

4

=

13

36

，
P（ξ=3）=

4

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

=

1

3

，
P（ξ=4）=

4

9

×

1

4

=

1

9

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 36	1 6	13 36	1 3	1 9

∴Eξ=0×

1

36

+1×

1

6

+2×

13

36

+3×

1

3

+4×

1

9

=

7

3

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．