Question

（本題滿分12分）
如圖，有一正方形鋼板缺損一角(圖中的陰影部分)，邊緣線是以直線AD為對(duì)稱軸，以線段的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線的一部分．工人師傅要將缺損一角切割下來，使剩余的部分成為一個(gè)直角梯形．若正方形的邊長(zhǎng)為2米，問如何畫切割線，可使剩余的直角梯形的面積最大？并求其最大值．

Answer 1

解法一：以為原點(diǎn)，直線為軸，

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，依題意
可設(shè)拋物線弧的方程為
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
故邊緣線的方程為. ……4分
要使梯形的面積最大，則所在的直線必與拋物線弧相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵，
∴直線的的方程可表示為，即，…………6分
由此可求得，.
∴，，…8分
設(shè)梯形的面積為，則

. ……………………………………………………………10分
∴當(dāng)時(shí)，，
故的最大值為. 此時(shí).………11分
答：當(dāng)時(shí)，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.   ………………………………………………………………………12分
解法二：以為原點(diǎn)，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，依題意可設(shè)拋物線弧的方程為
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴， 
故邊緣線的方程
為. ………4分
要使梯形的面積最大，則所在的直線必與拋物線弧相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵，
∴直線的的方程可表示為，即，…6分
由此可求得，.
∴，，……………7分
設(shè)梯形的面積為，則

. ……………………………………………………………10分
∴當(dāng)時(shí)，，
故的最大值為. 此時(shí).………11分
答：當(dāng)時(shí)，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.   ………………………………………………………………………12分

略