Question

已知函數(shù)f（x）=4x|x|-1，給出如下結(jié)論：
①f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)；
②對于任意x∈R，f（x）+f（-x）=-2恒成立；
③函數(shù)y=f（x）-2x+1恰有三個零點x₁，x₂，x₃，且x₁+x₂+x₃=0．
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①作出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可是R上的單調(diào)遞增函數(shù)；
②根據(jù)條件確定函數(shù)關(guān)于點（0，-1）對稱，即可證明對于任意x∈R，f（x）+f（-x）=-2恒成立；
③根據(jù)數(shù)形結(jié)合結(jié)合函數(shù)的對稱性即可得到結(jié)論．

解答： 解：f（x）=4x|x|-1=

4x2-1， x≥0 -4x2-1， x＜0

，
分別畫出當(dāng)x≥0和x＜0的函數(shù)圖象，它們分別是拋物線的一部分．如圖所示．
觀察圖象可知：
①f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)； 正確；
②圖象關(guān)于點（0，-1）對稱，故對于任意x∈R，f（x）+f（-x）=-2恒成立；正確；
③由y=f（x）-2x+1=0得f（x）=2x-1，
作出函數(shù)y=2x-1的圖象，由圖象可知兩個函數(shù)有3個交點，
且其中一個零點為0，另外兩個交點關(guān)于（0，-1）對稱，
則x₁+x₂+x₃=0；正確．
故其中正確的結(jié)論為 ①②③．
故選：D

點評：本小題主要考查分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、帶絕對值的函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．