Question

如圖，C點(diǎn)在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點(diǎn)，∠ACB的平分線DC交AE于點(diǎn)F，交AB于D點(diǎn)．
（I）求∠ADF的度數(shù)；
（II）當(dāng)AB=AC時(shí)，求證：∠ACE∽△BCA，并求相似比

AC

BC

的值．

Answer 1

分析：（I）確定∠DAE=90°，即可求∠ADF的度數(shù)；
（II）利用∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，可得△ACE∽△ABC，從而可求相似比

AC

BC

的值．

解答：（I）解：∵AC為圓O的切線，∴∠B=∠EAC
又知DC是∠ACB的平分線，∴∠ACD=∠DCB      …（3分）
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD即∠ADF=∠AFD 
又因?yàn)锽E為圓O的直徑，
∴∠DAE=90°
∴∠ADF=

1

2

(180°-∠DAE)=45° …．（6分）
（II）證明：∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△ABC  …．…（8分）
∴

AC

BC

=

AE

AB

，
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°，…（10分）
∴在Rt△ABE中，

AC

BC

=

AE

AB

=tan∠B=tan30°=

3

3

…．（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形的相似，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．