Question

已知橢圓E的方程為2x²+y²=2，過(guò)橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)，離心率，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求△ABO（O為原點(diǎn)）的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）將橢圓E的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：x2+

y2

2

=1，于是a=

2

，b=1，c=

a2-b2

=1，由此能夠求出橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)，離心率，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）依題意，設(shè)直線l過(guò)F₂（0，1）與橢圓E的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），S△ABO=

1

2

|OF|•|x1-x2|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

．根據(jù)題意，直線l的方程可設(shè)為y=kx+1，將y=kx+1代入2x²+y²=2，得（k²+2）x²+2kx-1=0．再由韋達(dá)定理求△ABO的面積的最大值．

解答：解：（1）將橢圓E的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：x2+

y2

2

=1，（1分）
于是a=

2

，b=1，c=

a2-b2

=1，
因此，橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=2

2

，短軸長(zhǎng)為2b=2，離心率e=

c

a

=

2

2

，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F₁（0，-1）、F₂（0，1），四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A1(0，-

2

)，A2(0，

2

)，A₃（-1，0）和A₄（1，0）．（6分）
（2）依題意，不妨設(shè)直線l過(guò)F₂（0，1）與橢圓E的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則S△ABO=

1

2

|OF|•|x1-x2|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

．（8分）
根據(jù)題意，直線l的方程可設(shè)為y=kx+1，
將y=kx+1代入2x²+y²=2，得（k²+2）x²+2kx-1=0．
由韋達(dá)定理得：x1+x2=-

2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

，（10分）
所以S△ABO=

1

2

(- 2k k2+2 )2+ 4 k2+2

=

2 • k2+1

k2+2

=

2

k2+1 + 1 k2+1

≤

2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)

k2+1

=

1

k2+1

，即k=0時(shí)等號(hào)成立）．（13分）
故△ABO的面積的最大值為

2

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)，離心率，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)的求法和計(jì)算△ABO（O為原點(diǎn)）的面積的最大值．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．