Question

【題目】如圖，在直角梯形中， ， 為線段（含端點）上一個動點，設(shè)對于函數(shù)，給出以下三個結(jié)論：

①當(dāng)時，函數(shù)的值域為；

②對于任意的，均有；

③對于任意的，函數(shù)的最大值均為4.

其中所有正確的結(jié)論序號為__________．

Answer 1

【答案】②③

【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．

∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），

∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．

∵=x，（0≤x≤1）．

∴=（﹣2，0）+x（1，a）=（x﹣2，xa），

∴==（0，a）﹣（x﹣2，xa）=（2﹣x，a﹣xa）

∴y=f（x）==（2﹣x，﹣xa）（2﹣x，a﹣xa）

=（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）

=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．

①當(dāng)a=2時，y=f（x）=5x2﹣8x+4=，

∵0≤x≤1，∴當(dāng)x=時，f（x）取得最小值；

又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．

綜上可得：函數(shù)f（x）的值域為．

因此①不正確．

②由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．

可得：a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立，因此②正確；

③由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．

可知：對稱軸x0=．

當(dāng)0＜a≤時，1＜x0，∴函數(shù)f（x）在[0，1]單調(diào)遞減，因此當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取得最大值4．

當(dāng)時，0＜x0＜1，函數(shù)f（x）在[0，x0）單調(diào)遞減，在（x0，1]上單調(diào)遞增．

又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．

因此③正確．

綜上可知：只有②③正確．

故答案為：②③．