Question

【題目】某校為了普及環(huán)保知識，增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識，在全校組織了一次有關(guān)環(huán)保知識的競賽．經(jīng)過初賽、復(fù)賽，甲、乙兩個代表隊(duì)（每隊(duì)3人）進(jìn)入了決賽，規(guī)定每人回答一個問題，答對為本隊(duì)贏得10分，答錯得0分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對的概率均為 ，乙隊(duì)中3人答對的概率分別為 ， ， ，且各人回答正確與否相互之間沒有影響，用ξ表示乙隊(duì)的總得分． （Ⅰ）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于30分且甲隊(duì)獲勝的概率．

Answer 1

【答案】解：由題意知，ξ的可能取值為0，10，20，30，

由于乙隊(duì)中3人答對的概率分別為 ， ， ，

P（ξ=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）= ，

P（ξ=10）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ）× = = ，

P（ξ=20）= × ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× × + ×（1﹣ ）× = = ，

P（ξ=30）= × × = ，

∴ξ的分布列為：

ξ	0	10	20	30
P

∴Eξ=0× +10× +20× +30× = ．

（Ⅱ）由A表示“甲隊(duì)得分等于30乙隊(duì)得分等于0”，B表示“甲隊(duì)得分等于20乙隊(duì)得分等于10”，可知A、B互斥．

又P（A）= = ，P（B）= × × = ，

則甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于30分且甲隊(duì)獲勝的概率為

P（A+B）=P（A）+P（B）= =

【解析】（Ⅰ）由題意知，ξ的可能取值為0，10，20，30，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ；（Ⅱ）由A表示“甲隊(duì)得分等于30乙隊(duì)得分等于0”，B表示“甲隊(duì)得分等于20乙隊(duì)得分等于10”，可知A、B互斥．利用互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于30分且甲隊(duì)獲勝的概率．