7.已知點F(0,1)為拋物線x2=2py的焦點.
(1)求拋物線C的方程;
(2)點A、B、C是拋物線上三點且$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$,求△ABF面積的最大值.

分析 (1)根據(jù)條件容易求出p=2,從而得出拋物線C的方程為x2=4y;
(2)可設(shè)$A({x}_{1},\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}),B({x}_{2},\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}),C({x}_{3},\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4})$,并設(shè)直線AB交y軸于D(0,yD),并可求得${y}_{D}=-\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$.由$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}$即可得出${x}_{1}+{x}_{2}=-{x}_{3},{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=12-{{x}_{3}}^{2}$,進而得到${x}_{1}{x}_{2}={{x}_{3}}^{2}-6$,由${S}_{△ABF}=\frac{1}{2}|1-{y}_{D}||{x}_{2}-{x}_{1}|$即可得到${{S}^{2}}_{△ABF}=\frac{3}{64}({{x}_{3}}^{2}-2)^{2}(8-{{x}_{3}}^{2})$,這樣設(shè)$t={{x}_{3}}^{2}≥0$,$y=\frac{3}{64}(t-2)^{2}(8-t)$,根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號即可求出y的最大值,即得出△ABF面積的最大值.

解答 解:(1)由題意$\frac{p}{2}=1$;
∴p=2;
∴拋物線C的方程為x2=4y;
(2)令$A({x}_{1},\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}),B({x}_{2},\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}),C({x}_{3},\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4})$,
不妨設(shè)直線AB與y軸交于點D(0,yD),則:
$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{{y}_{D}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}{0-{x}_{1}}$;
∴${y}_{D}=-\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$;
又$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}$;
∴$({x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3},\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}-3)=(0,0)$;
∴x1+x2+x3=0,$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2}}{4}=3$;
從而${x}_{1}+{x}_{2}=-{x}_{3},{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=12-{{x}_{3}}^{2}$;
∴$2{x}_{1}{x}_{2}=({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-({{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2})$=$2{{x}_{3}}^{2}-12$;
∴${x}_{1}{x}_{2}={{x}_{3}}^{2}-6$;
又${S}_{△ABF}=\frac{1}{2}|1-{y}_{D}||{x}_{2}-{x}_{1}|$;
∴${{S}^{2}}_{△ABF}=\frac{1}{4}(1+\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4})^{2}({{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2})$
=$\frac{1}{64}(4+{{x}_{3}}^{2}-6)^{2}(12-{{x}_{3}}^{2}-2{{x}_{3}}^{2}+12)$
=$\frac{1}{64}({{x}_{3}}^{2}-2)^{2}(24-3{{x}_{3}}^{2})$
=$\frac{3}{64}({{x}_{3}}^{2}-2)^{2}(8-{{x}_{3}}^{2})$;
令$t={{x}_{3}}^{2}≥0$,$y=\frac{3}{64}(t-2)^{2}(8-t)$,$y′=\frac{9}{64}(t-2)(6-t)$;
t∈[0,2)時,y′<0,t∈(2,6)時,y′>0,t∈(6,+∞)時,y′<0;
且當t=0時y=$\frac{3}{2}$,當t=6時,$y=\frac{3}{2}$;
∴${y}_{max}=\frac{3}{2}$;
∴△ABF面積的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$.

點評 考查拋物線的標準方程,拋物線上點的坐標的設(shè)法,根據(jù)點的坐標求直線的斜率,向量坐標的加法運算,以及三角形的面積公式,根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號求函數(shù)最值的方法.

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