Question

等差數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=1，前n項和為S_n；{b_n}為等比數(shù)列，b₁=1，且b₂S₂=6，b₃S₃=24，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）令Cn=

n

bn

+

1

an•an+2

，T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n；
①求T_n；
②當(dāng)n≥3時，證明：4（n+2）T_n＞15（n+1）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d（d＞0），{b_n}的公比為q，則利用b₂S₂=6，b₃S₃=24，可建立方程組，從而可求數(shù)列的公差與公比，從而可得數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（II）由（I）知Cn=

n

bn

+

1

an•an+2

=

n

2n-1

+

1

n(n+2)

=

n

2n-1

+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
①Tn=

n

i=1

i

2i-1

+

n

i=1

1

2

(

1

i

-

1

i+2

)

n

i=1

i

2i-1

是一個典型的錯位相減法模型，

n

i=1

i

2i-1

=4-

n+2

2n-1

.

n

i=1

1

2

(

1

i

-

1

i+2

)是一個典型的裂項求和法模型，由此可得結(jié)論；
②證明當(dāng)n≥3時，-

2n+4

2n

≥-

2n+4

2n+2

=-

n+2

n+1

，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：設(shè){a_n}的公差為d（d＞0），{b_n}的公比為q，則an=1+(n-1)d ， bn=qn-1，
依題意有

S3b3=(3+3d)q2=24 S2b2=(2+d)q=6

，∴

d=1 q=2

或

d=- 1 2 q=4

（舍去）
解得

d=1 q=2

，故a_n=n，bn=2n-1（n∈N^*）
（II）解：由（I）知Cn=

n

bn

+

1

an•an+2

=

n

2n-1

+

1

n(n+2)

=

n

2n-1

+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
①Tn=

n

i=1

i

2i-1

+

n

i=1

1

2

(

1

i

-

1

i+2

)

n

i=1

i

2i-1

是一個典型的錯位相減法模型，

n

i=1

i

2i-1

=4-

n+2

2n-1

.

n

i=1

1

2

(

1

i

-

1

i+2

)是一個典型的裂項求和法模型，

n

i=1

1

2

(

1

i

-

1

i+2

)=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

Tn=4-

n+2

2n-1

+

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

=

19

4

-

n+2

2n-1

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．
②證明：當(dāng)n≥3時，-

2n+4

2n

≥-

2n+4

2n+2

=-

n+2

n+1

∴Tn=

19

4

-

n+2

2n-1

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

≥

19

4

-

n+2

n+1

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

∴4T_n≥19-4[

n+2

n+1

+

2n+3

2(n+1)(n+2)

]=

15n2+37n+16

(n+1)(n+2)

＞

15(n+1)2

(n+1)(n+2)

=

15(n+1)

n+2

∴當(dāng)n≥3時，4（n+2）T_n＞15（n+1）．

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求通項，用合適的方法求數(shù)列的和是關(guān)鍵．