Question

如圖，以棱長為a的正方體的三條棱為坐標軸，建立空間直角坐標系O-xyz，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上．
（1）當點P為對角線AB的中點，點Q在棱CD上運動時，探究PQ的最小值；
（2）當點P在對角線AB上運動，點Q為棱CD的中點時，探究PQ的最小值；
（3）當點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動時，探究PQ的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得P（

1

2

a，

1

2

a，

1

2

a），設Q（0，a，m）（0≤m≤a），由空間兩點之間的距離公式，可得PQ=

1 2 a2+( 1 2 a-m)2

，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)加以研究，可得當且僅當Q為CD的中點時PQ有最小值

2

2

a；
（2）根據(jù)題意，得Q（0，a，

1

2

a），設P（n，n，a-n）（0≤n≤a），由空間兩點之間的距離公式，可得PQ=

3(n- 1 2 a)2+ 1 2 a2

，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)加以研究，可得當且僅當P為AB的中點時，PQ的最小值為

2

2

a；
（3）設P（λ，λ，a-λ），Q（0，a，μ）（0≤λ≤a且0≤μ≤a），可得PQ關于λ、μ的表達式，用與（1）（2）類似的方法加以研究，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當且僅當P、Q分別為AB、CD的中點時，PQ的最小值為

2

2

a．

解答：解：∵正方體的棱長為a，∴A（a，a，0），B（0，0，a），C（0，a，0），D（0，a，a）
可得AB的中點為（

1

2

a，

1

2

a，

1

2

a），CD中點為（0，a，

1

2

a）
（1）當點P為對角線AB的中點，點Q在棱CD上運動時，
可得P（

1

2

a，

1

2

a，

1

2

a），設Q（0，a，m）（0≤m≤a）
∴PQ=

( 1 2 a-0)2+( 1 2 a-a)2+( 1 2 a-m)2

=

1 2 a2+( 1 2 a-m)2

≥

1 2 a2+( 1 2 a- 1 2 a)2

=

2

2

a
當且僅當m=

1

2

a時，即Q為CD的中點時，PQ的最小值為

2

2

a；
（2）當P在對角線AB上運動，點Q為棱CD的中點時，
可得Q（0，a，

1

2

a），設P（n，n，a-n），（0≤n≤a）
PQ=

(0-n)2+(a-n)2+( 1 2 a-a+n)2

=

3(n- 1 2 a)2+ 1 2 a2

≥

3( 1 2 a- 1 2 a)2+ 1 2 a2

=

2

2

a
當且僅當n=

1

2

a時，即P為AB的中點時，PQ的最小值為

2

2

a；
（3）設P（λ，λ，a-λ），Q（0，a，μ）（0≤λ≤a且0≤μ≤a）
可得PQ=

λ2+(λ-a)2+(a-λ-μ)2

=

2(λ- a 2 )2+(a-λ-μ)2+ 1 2 a2

∵2（λ-

a

2

）²≥0，（a-λ-μ）²≥0，
∴2（λ-

a

2

）²+（a-λ-μ）²+

1

2

a2≥

1

2

a2，當且僅當λ-

a

2

=a-λ-μ=0時，等號成立
此時λ=μ=

1

2

a，所以當且僅當P、Q分別為AB、CD的中點時，PQ的最小值為

2

2

a．

點評：本題在正方體中求兩個動點之間的距離的最小值，著重考查了空間兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)和正方體中的距離探索等知識，屬于中檔題．