【題目】已知數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，都有成立．記．

（Ⅰ）求數(shù)列和的通項公式；

（Ⅱ）設，數(shù)列的前項和為，求證： ．

【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（I）由成立，可得時， ，可得出數(shù)列為等比數(shù)列,從而可得數(shù)列的通項公式，根據(jù)對數(shù)的運算性質可得；(II)利用（I）的結論，可得，根據(jù)裂項求和求出數(shù)列的前項和為,再利用放縮法即可證明結論.

試題解析：（Ⅰ）在中，令得.

因為對任意正整數(shù)，都有成立， 時， ，

兩式作差得， ，所以，

又，所以數(shù)列是以為首項，4為公比的等比數(shù)列，即，

∴

（Ⅱ）∵，

∴.

∴.

∴對任意， ．

又，所以， 為關于的增函數(shù)，所以，

綜上，

【方法點晴】本題主要考查等差數(shù)列的通項與等比數(shù)列的定義，以及裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題. 裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】關于函數(shù)圖象的對稱性與周期性，有下列說法：①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋1)＝f(3＋x)，則f(x)的一個周期為T＝2；②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋1)＝f(3－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝2對稱；③函數(shù)y＝f(x＋1)與函數(shù)y＝f(3－x)的圖象關于直線x＝2對稱；④若函數(shù)與函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱，則，其中正確的個數(shù)是()

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，平面五邊形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝.將△CDE沿CE折起，使點D移動到P的位置，且AP＝，得到四棱錐P－ABCE.

(1)求證：AP⊥平面ABCE；

(2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l，求證：AB∥l.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|，a∈R.

(Ⅰ)當a＝4時，求不等式f(x)≥7的解集；

(Ⅱ)若f(x)≥5對x∈R恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐PABC中，不能證明AP⊥BC的條件是(　　)

A. AP⊥PB，AP⊥PC

B. AP⊥PB，BC⊥PB

C. 平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC

D. AP⊥平面PBC

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點．

(Ⅰ)求證：PC∥平面EBD；

(Ⅱ)求證：平面PBC⊥平面PCD.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設向量， ，記

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)試用“五點法”畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間上的簡圖，并指出該函數(shù)的圖象可由y＝sin x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到；

(3)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋m， 的最小值為2，試求出函數(shù)g(x)的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

(1)求函數(shù)y＝f(x)圖象的對稱軸方程；

(2)求函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)的最小正周期和值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處的切線與軸垂直，求的最大值；

（2）若對任意都有，求的取值范圍.

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