Question

設(shè)命題P：底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐；命題Q：在△ABC中A＞B是cos²（

A

2

+

π

4

）＜cos²（

B

2

+

π

4

）成立的必要非充分條件，則（　�。�

A．P真Q假

B．P且Q為真

C．P或Q為假

D．P假Q(mào)真

Answer 1

分析：對(duì)于命題P，從正三棱錐的定義出發(fā)，結(jié)合正三棱錐的性質(zhì)，對(duì)命題進(jìn)行判斷，即可解答；對(duì)于命題Q應(yīng)先對(duì)三角形式進(jìn)行降冪，然后利用三角函數(shù)的單調(diào)性找到變量∠A、∠B的關(guān)系．

解答：解：由命題P：底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐，
由于側(cè)面與底面所成的二面角都相等，可推出底面中心等于是棱錐頂點(diǎn)在底面的射影，所以命題P為真命題．
由命題Q知，若cos²（

A

2

+

π

4

）＜cos²（

B

2

+

π

4

），即sinA＞sinB，∴∠A＞∠B；
反之，在三角形中若∠A＞∠B則必有sinA＞sinB，即cos²（

A

2

+

π

4

）＜cos²（

B

2

+

π

4

）成立，所以命題Q為假命題．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是命題真假、多面體和三角不等式的綜合問(wèn)題．在解答過(guò)程中要充分體會(huì)正棱錐要求，三角恒等變換知識(shí)的應(yīng)用以及命題真假判斷的規(guī)律．此題屬于較綜合類(lèi)題目，值得同學(xué)們總結(jié)歸納．