Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），其圖象關(guān)于直線x=1對稱，f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（1）求a、b、c的值；
（2）是否存在實數(shù)m，n（m＜n=，使得函數(shù)f（x）在定義域[m，n]上的值域為[3m，3n]．如果存在，求出m，n的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)題意得出f（2）=0，f（0）=0，設f（x）=ax（x-2）=ax²-2ax，利用f（x）=x有等根．求解即可．
（2））f（x）=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，根據(jù)f（x）在[m，n]上為增函數(shù)得出f（m）=3m，f（n）=3n，求解即可．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
其圖象關(guān)于直線x=1對稱，f（2）=0，
∴f（0）=0
∴f（x）=ax（x-2）=ax²-2ax，
∵方程f（x）=x有等根．
∴ax²=（2a+1）x，
2a+1=0
a=-

1

2

，
∴f（x）=-

1

2

x2+x，
a=-

1

2

，b=1，c=0，
（2）f（x）=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

∵m＜n≤

1

6

∴f（x）在[m，n]上為增函數(shù)
∵f（m）=3m，f（n）=3n
∴m=-4，n=0（m=0，n=-4，不合題意，舍去）
∴存在m=-4，n=0

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，運用性質(zhì)求解解析式，單調(diào)性運用求解值域問題，屬于中檔題．