Question

已知函數(shù)f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定義域?yàn)閇0，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的值域；
（3）是否存在實(shí)數(shù)t，若對(duì)任意的x₁∈[0，1]，都存在x₂∈[t，t+1]使得g（x₁）=f（x₂）-3成立，若存在求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（a+2）=18列出關(guān)于a的方程，即可求出a；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求函數(shù)的值域；
（3）根據(jù)條件先求出g（x₁）的取值范圍，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性建立方程即可求出t的值．

解答： 解：（1）由f（a+2）=18，得3^a+2=18，
即3^a=2，
∴a=log₃2，
∵g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x，
∴g（x）=(3log?32)x-4^x=2^x-4^x．
（2）∵g（x）=2^x-4^x=2x-(2x)2=-(2x-

1

2

)2+

1

4

，
∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，2^x∈[1，2]，
∴設(shè)t=2^x∈[1，2]，
則函數(shù)g（x）等價(jià)為y=-(t-

1

2

)2+

1

4

，
-2≤y≤0，
即g（x）的值域?yàn)閇-2，0]．
（3）當(dāng)x∈[0，1]，由（2）知g（x）的值域?yàn)閇-2，0]．
若任意的x₁∈[0，1]，g（x₁）∈[-2，0]．
∴由得g（x₁）=f（x₂）-3成立，
即得g（x₁）+3=f（x₂）成立，
∴g（x₁）+3∈[1，3]．
若存在x₂∈[t，t+1]使得g（x₁）=f（x₂）-3成立，
則

3t=1 3t+1=3

，
即t=0，
故存在t=0，滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及方程恒成立問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多．