【題目】在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，，平面.

（1）證明：；

（2）若是的中點(diǎn)，，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)底面為菱形，以及平面，可證得面，從而證明；

（2）方法一：利用線面垂直，作出二面角的平面角.在直角三角形中，逐步求出邊長(zhǎng)，最終求出線面角.

方法二：根據(jù)建立的空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)后，代入公式計(jì)算即可．

（1）因?yàn)榈酌媸橇庑危?/span>.

又平面，平面，所以.

，所以面.

又面，所以.

（2）由（1）

在中，，∴，，

方法一：

過(guò)做于，連，則，

所以是二面角的平面角.

在中，，，

所以，即.

所以.

，

得，

，，

所以二面角的余弦值為.

方法二：

如圖，以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，

，，.

設(shè)面的法向量為，

則，即，

即，得方程的一組解為，，，

即.

又面的一個(gè)法向量為，

所以，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)的定義域分別為，若對(duì)任意的，總存在，使得，我們就稱函數(shù)為的“子函數(shù)”．已知函數(shù)，，．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若為的一個(gè)“子函數(shù)”，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“水資源與永恒發(fā)展”是2015年聯(lián)合國(guó)世界水資源日主題，近年來(lái)，某企業(yè)每年需要向自來(lái)水廠所繳納水費(fèi)約4萬(wàn)元，為了緩解供水壓力，決定安裝一個(gè)可使用4年的自動(dòng)污水凈化設(shè)備，安裝這種凈水設(shè)備的成本費(fèi)(單位：萬(wàn)元)與管線、主體裝置的占地面積(單位：平方米)成正比，比例系數(shù)約為0.2.為了保證正常用水，安裝后采用凈水裝置凈水和自來(lái)水廠供水互補(bǔ)的用水模式．假設(shè)在此模式下，安裝后該企業(yè)每年向自來(lái)水廠繳納的水費(fèi)C(單位：萬(wàn)元)與安裝的這種凈水設(shè)備的占地面積x(單位：平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是C(x)＝ (x≥0，k為常數(shù))．記y為該企業(yè)安裝這種凈水設(shè)備的費(fèi)用與該企業(yè)4年共將消耗的水費(fèi)之和．

(1)試解釋C(0)的實(shí)際意義，并建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并化簡(jiǎn)；

(2)當(dāng)x為多少平方米時(shí)，y取得最小值，最小值是多少萬(wàn)元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，直線：與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.為左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若是，寫出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線：，：，圓：.

（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與平行；

（2）當(dāng)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且時(shí)，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

求函數(shù)在處的切線方程；

若在，處導(dǎo)數(shù)相等，證明：.

若對(duì)于任意，直線與函數(shù)圖象都有唯一公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）若，證明在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；

（2）在上恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，為多面體，平面與平面垂直，點(diǎn)在線段上， 都是正三角形.

（1）證明：直線∥面；

（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值是，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)所在的位置。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】據(jù)歷年大學(xué)生就業(yè)統(tǒng)計(jì)資料顯示：某大學(xué)理工學(xué)院學(xué)生的就業(yè)去向涉及公務(wù)員、教師、金融、商貿(mào)、公司和自主創(chuàng)業(yè)等六大行業(yè)．2020屆該學(xué)院有數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)和金融工程等三個(gè)本科專業(yè)，畢業(yè)生人數(shù)分別是70人，140人和210人.現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該學(xué)院畢業(yè)生中抽取18人調(diào)查學(xué)生的就業(yè)意向．

(1)應(yīng)從該學(xué)院三個(gè)專業(yè)的畢業(yè)生中分別抽取多少人？

(2)國(guó)家鼓勵(lì)大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，在抽取的18人中，含有“自主創(chuàng)業(yè)”就業(yè)意向的有6人，且就業(yè)意向至少有三個(gè)行業(yè)的學(xué)生有7人.為方便統(tǒng)計(jì)，將至少有三個(gè)行業(yè)就業(yè)意向的這7名學(xué)生分別記為，，，，，，，統(tǒng)計(jì)如下表：

學(xué)生

就業(yè)意向

公務(wù)員

×

〇

×

〇

〇

×

×

教師

×

〇

×

〇

〇

〇

〇

金融

×

×

〇

〇

〇

×

×

商貿(mào)

〇

〇

〇

×

〇

〇

〇

公司

〇

〇

×

〇

〇

×

〇

自主創(chuàng)業(yè)

〇

×

〇

×

×

〇

〇

其中“〇”表示有該行業(yè)就業(yè)意向，“×”表示無(wú)該行業(yè)就業(yè)意向．

①試估計(jì)該學(xué)院2020屆畢業(yè)生中有自主創(chuàng)業(yè)意向的學(xué)生人數(shù)；

②現(xiàn)從，，，，，，這7人中隨機(jī)抽取2人接受采訪，設(shè)為事件“抽取的2人中至少有一人有自主創(chuàng)業(yè)意向”，求事件發(fā)生的概率.

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