Question

已知A（2，0），B（0，1）為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的兩點，P（x，y）為橢圓C上的動點，O為坐標(biāo)原點．
（ I）求橢圓C的方程；
（ II）將|OP|表示為x的函數(shù)，并求|OP|的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題設(shè)中的兩個交點可知，兩點為橢圓與坐標(biāo)軸的交點，即上頂點和右頂點，進(jìn)而可求得橢圓方程中的a和b，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得．
（II）由點P（x，y）在橢圓C上，可得

x2

4

+y2=1，且0≤x²≤4，利用兩點間的距離公式將|OP|表示為x的函數(shù)，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出其范圍．

解答：解：（ I）由題意可知 a=2，b=1，---------（2分）
所以，橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．---------（4分）
（ II）由點P（x，y）在橢圓C上，可得

x2

4

+y2=1，且0≤x²≤4．---------（6分）
|OP|=

x2+y2

=

x2+1- x2 4

=

1+ 3x2 4

，--------（8分）
因為0≤

3x2

4

≤3，可得1≤1+

3x2

4

≤4，所以1≤|OP|≤2，
故|OP|的取值范圍為[1，2]．---------（10分）

點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡單性質(zhì)，考查函數(shù)的思想．屬于中檔題．