【題目】如圖,在三棱臺(tái)中, , 分別是, 的中點(diǎn), 平面, 是等邊三角形, , ,.
(1)證明: 平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)根據(jù)棱臺(tái)的性質(zhì)和三角形的中位線(xiàn)可以得到,從而得到平面.在梯形中, (為棱的中點(diǎn)),所以平面,從而可以證明平面平面,也就能得到平面.(2)以所在直線(xiàn)分別為軸, 軸, 軸,建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)計(jì)算平面和平面的法向量的夾角得到二面角的正弦值為.
解析:(1)證明:因?yàn)?/span>, 為棱的中點(diǎn),所以,所以四邊形為平行四邊形,從而.又平面,平面,所以平面. 因?yàn)?/span>是的中位線(xiàn),所以,同理可證, 平面.因?yàn)?/span>,所以平面平面. 又平面,所以平面.
(2)以所在直線(xiàn)分別為軸, 軸, 軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,則.
設(shè)平面的一個(gè)法向量,則 即
取,得.
同理,設(shè)平面的一個(gè)法向量,又,
由,得取,得.所以,即二面角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩名同學(xué)準(zhǔn)備參加考試,在正式考試之前進(jìn)行了十次模擬測(cè)試,測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢?/span>
甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133
乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146
(1)畫(huà)出甲、乙兩人成績(jī)的莖葉圖,求出甲同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和方差,并根據(jù)莖葉圖,寫(xiě)出甲、乙兩位同學(xué)平均成績(jī)以及兩位同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)的大小關(guān)系的結(jié)論;
(2)規(guī)定成績(jī)超過(guò)127為“良好”,現(xiàn)在老師分別從甲、乙兩人成績(jī)中各隨機(jī)選出一個(gè),求選出成績(jī)“良好”的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(注:方差,其中為的平均數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市舉行“中學(xué)生詩(shī)詞大賽”,分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行,規(guī)定:初賽成績(jī)大于90分的具有復(fù)賽資格,某校有800名學(xué)生參加了初賽,所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間內(nèi),其頻率分布直方圖如圖.
(Ⅰ)求獲得復(fù)賽資格的人數(shù);
(Ⅱ)從初賽得分在區(qū)間的參賽者中,利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取人參加學(xué)校座談交流,那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人?
(Ⅲ)從(Ⅱ)抽取的人中,選出人參加全市座談交流,設(shè)表示得分在區(qū)間中參加全市座談交流的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在R上的奇函數(shù)滿(mǎn)足,且在[0,1)上單調(diào)遞減,若方程在[0,1)上有實(shí)數(shù)根,則方程在區(qū)間[-1,7]上所有實(shí)根之和是
A. 12 B. 14 C. 6 D. 7
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱臺(tái)中, , 分別是, 的中點(diǎn), 平面, 是等邊三角形, , ,.
(1)證明: 平面;
(2)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,橢圓: 的焦距與橢圓: 的短軸長(zhǎng)相等,且與的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等,這兩個(gè)橢圓在第一象限的交點(diǎn)為,直線(xiàn)經(jīng)過(guò)在軸正半軸上的頂點(diǎn)且與直線(xiàn)(為坐標(biāo)原點(diǎn))垂直, 與的另一個(gè)交點(diǎn)為, 與交于, 兩點(diǎn).
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若關(guān)于的方程的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為,則的所有可能值為( )
A. 3 B. 1或3 C. 3或5 D. 1或3或5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解今年某校高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報(bào)考飛行員學(xué)生的體重情況,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫(huà)出了頻率分布直方圖(如圖),已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1:2:3,其中第2小組的頻數(shù)為15.
(1)求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù);
(2)以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù),若從全省報(bào)考飛行員的同學(xué)中(人數(shù)很多)任選三人,設(shè)表示體重超過(guò)65公斤的學(xué)生人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】吸煙有害健康,遠(yuǎn)離煙草,珍惜生命。據(jù)統(tǒng)計(jì)一小時(shí)內(nèi)吸煙5支誘發(fā)腦血管病的概率為0.02,一小時(shí)內(nèi)吸煙10支誘發(fā)腦血管病的概率為0.16.已知某公司職員在某一小時(shí)內(nèi)吸煙5支未誘發(fā)腦血管病,則他在這一小時(shí)內(nèi)還能繼吸煙5支不誘發(fā)腦血管病的概率為( )
A. B. C. D. 不確定
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