已知函數(shù)f(x)(x∈R滿足下列條件：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2都有

λ(x1－x2)2≤(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]

和|f(x1)－f(x2)|≤|x1－x2|，其中λ是大于0的常數(shù)．

設(shè)實(shí)數(shù)a0，a，b滿足：f(a0)＝0和b＝a－λf(a)

(Ⅰ)證明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f(b0)＝0；

(Ⅱ)證明(b－a0)2≤(1－λ2)(a－a0)2；

(Ⅲ)證明[f(b)]2≤(1－λ2)[f(a)]2．

答案：
解析：

　　本小題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．

　　證明：(Ⅰ)任取x1，x2∈R，x1≠x2，則由λ(x1－x2)2≤(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]　�、�

　　和|f(x1)－f(x2)|≤|x1－x2|　�、�

　　可知λ(x1－x2)2≤(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]≤|x1－x2|·|f(x1)－f(x2)|≤|x1－x2|2，

　　從而λ≤1．假設(shè)有b0≠a0，使得f(b0)＝0，則由①式知0＜λ(a0－b0)2≤(a0－b0)[f(a0)－f(b0)]＝0矛盾．

　　∴不存在b0≠a0，使得f(b0)＝0．

　　(Ⅱ)由b＝a－λf(a)　�、�

　　可知(b－a0)2＝[a－a0－λf(a)]2＝(a－a0)2－2λ(a－a0)f(a)＋λ2[f(a)]2　�、�

　　由f(a0)＝0和①式，得(a－a0)f(a)＝(a－a0)[f(a)－f(a0)]≥λ(a－a0)2．　�、�

　　由f(a0)＝0和②式知，[f(a)]2＝[f(a)－f(a0)]2≤(a－a0)2　　⑥

　　由⑤、⑥代入④式，得(b－a0)2≤(a－a0)2－2λ2(a－a0)2＋λ2(a－a0)2＝(1－λ2)(a－a0)2

　　(Ⅲ)由③式可知[f(b)]2＝[f(b)－f(a)＋f(a)]2

　�。絒f(b)－f(a)]2＋2f(a)[f(b)－f(a)]＋[f(a)]2≤(b－a)2－2·[f(b)－f(a)]＋[f(a)]2(用②式)

　�。溅�2[f(a)]2－(b－a)[f(b)－f(a)]＋[f(a)]2≤λ2[f(a)]2－·λ·(b－a)2＋[f(a)]2(用①式)

　　＝λ2[f(a)]2－2λ2[f(a)]2＋[f(a)]2

　�。�(1－λ2)[f(a)]2


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請(qǐng)求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：浙江省東陽(yáng)中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長(zhǎng)葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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