已知函數(shù)f(x)=
x
2
,g(x)=log2x,F(xiàn)(x)=f(x)-g(x)

(1)在同一在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f(x),g(x)的圖象;
(2)利用圖象求F(x)>0的解集;
(3)已知函數(shù)y=F(x)-
1
2
的零點(diǎn)是1和x0,若x0∈(n,n+1)(n∈N),求n的值;
(4)若已知x(x2+3x-6)>0,解不等式:2x+3x22
6
x
•(x2+3x-6)2
分析:(1)根據(jù)F(x)=
1
2
x-log2x
(x>0)分類討論:當(dāng)0<x≤1時(shí),當(dāng)1<x<2時(shí),比較f(x)和g(x)函數(shù)值的大小,進(jìn)一步得出函數(shù)f(x)=
1
2
x
,g(x)=log2x的圖象有2個(gè)交點(diǎn),再畫出圖象.
(2)由圖象可得,當(dāng)0<x<2,或x>2時(shí),f(x)>g(x),當(dāng)2<x<4時(shí),f(x)<g(x),從而得出F(x)>0的解集;
(3)由函數(shù)y=F(x)-
1
2
的零點(diǎn)是1可得
1
2
x-log2x-
1
2
=0
即x-1-2log2x=0的根為1和x0令G(x)=x-1-2log2x根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知,x0∈(5,6)從而得出n=5;
(4)先對不等式:2x+3x22
6
x
•(x2+3x-6)2.兩邊取以2為底的對數(shù)得:x+3+log2x2
6
x
+log2(x2+3x-6)2最后整理成
1
2
x2+3x-6
x
)<log2
x2+3x-6
x
,從而由(1)得出2<
x2+3x-6
x
<4.解之即可.
解答:解:(1)∵F(x)=
1
2
x-log2x
(x>0)
當(dāng)0<x≤1時(shí),f(x)>0,g(x)<0.f(x)>g(x)
當(dāng)1<x<2時(shí),f(x)>g(x)
而f(2)=g(2)=1,f(4)=g(4)=2但是函數(shù)f(x)=
1
2
x
與g(x)=log2x在(4,+∞)都是單調(diào)遞增,
但是函數(shù)f(x)比函數(shù)g(x)的增加速度快
當(dāng)x>4時(shí),f(x)>g(x)
∴函數(shù)f(x)=
1
2
x
,g(x)=log2x的圖象有2個(gè)交點(diǎn),其圖象如圖所示


(2)由圖象可得,當(dāng)0<x<2,或x>2時(shí),f(x)>g(x),即F(x)>0
當(dāng)2<x<4時(shí),f(x)<g(x),即F(x)<0
∴F(x)>0的解集為{x|0<x<2或x>4}.

(3)由函數(shù)y=F(x)-
1
2
的零點(diǎn)是1可得
1
2
x-log2x-
1
2
=0
即x-1-2log2x=0的根為1和x0
令G(x)=x-1-2log2x
G(1)=0,而G(6)=5-2log26>0,G(5)=4-2log25<0
根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知,x0∈(5,6)
∴n=5.
(4)不等式:2x+3x22
6
x
•(x2+3x-6)2
兩邊取以2為底的對數(shù)得:
x+3+log2x2
6
x
+log2(x2+3x-6)2
即x+3-
6
x
<log2(x2+3x-6)2-log2x2
1
2
x2+3x-6
x
)<log2
x2+3x-6
x

從而由(1)得出2<
x2+3x-6
x
<4.
x>0
2x<x2+3x-6<4x
①或
x<0
2x>x2+3x-6>4x

解①得2<x<3;解②得-3<x<-2
∴原不等式的解集為(-3,-2)∪(2,3).
點(diǎn)評:本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請求出a的值,若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案