Question

15．鷹潭市龍虎山花語世界位于中國第八處世界自然遺產(chǎn)，世界地質(zhì)公元、國家自然文化雙遺產(chǎn)地、國家AAAAA級旅游景區(qū)--龍虎山主景區(qū)排衙峰下，是一座獨具現(xiàn)代園藝風(fēng)格的花卉公園，園內(nèi)匯集了3000余種花卉苗木，一年四季姹紫嫣紅花香四溢．花園景觀融合法、英、意、美、日、中六大經(jīng)典園林風(fēng)格，景觀設(shè)計唯美新穎．玫瑰花園、香草花溪、臺地花海、植物迷宮、兒童樂園等景點錯落有致，交相呼應(yīng)又自成一體，是世界園藝景觀的大展示．該景區(qū)自2015年春建成試運行以來，每天游人如織，郁金香、向日葵、虞美人等賞花旺季日入園人數(shù)最高達(dá)萬人．某學(xué)校社團(tuán)為了解進(jìn)園旅客的具體情形以及采集旅客對園區(qū)的建議，特別在2017年4月1日賞花旺季對進(jìn)園游客進(jìn)行取樣調(diào)查，從當(dāng)日12000名游客中抽取100人進(jìn)行統(tǒng)計分析，結(jié)果如下：（表一）

年齡	頻數(shù)	頻率	男	女
[0，10）	10	0.1	5	5
[10，20）	①	②	③	④
[20，30）	25	0.25	12	13
[30，40）	20	0.2	10	10
[40，50）	10	0.1	6	4
[50，60）	10	0.1	3	7
[60，70）	5	0.05	1	4
[70，80）	3	0.03	1	2
[80，90）	2	0.02	0	2
合計	100	1.00	45	55

（1）完成表格一中的空位①-④，并在答題卡中補全頻率分布直方圖，并估計2017年4月1日當(dāng)日接待游客中30歲以下人數(shù)．
（2）完成表格二，并問你能否有97.5%的把握認(rèn)為在觀花游客中“年齡達(dá)到50歲以上”與“性別”相關(guān)？

	50歲以上	50歲以下	合計
男生
女生
合計

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
（3）按分層抽樣（分50歲以上與50以下兩層）抽取被調(diào)查的100位游客中的10人作為幸運游客免費領(lǐng)取龍虎山內(nèi)部景區(qū)門票，再從這10人中選取2人接受電視臺采訪，設(shè)這2人中年齡在50歲以上（含）的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布表的性質(zhì)能完成表（一），從而能完成頻率分布直方圖，進(jìn)而求出30歲以下頻率，以頻率作為概率，估計2017年7月1日當(dāng)日接待游客中30歲以下人數(shù)；
（2）完成表格，求出觀測值K²，對照臨界值表即可得出結(jié)論；
（3）由分層抽樣原理，結(jié)合題意得出ξ的取值可能，計算相應(yīng)的概率，寫出ξ的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）完成表格一中的空位①-④，如下：

年齡	頻數(shù)	頻率	男	女
[0，10）	10	0.1	5	5
[10，20）	15	0.15	7	8
[20，30）	25	0.25	12	13
[30，40）	20	0.2	10	10
[40，50）	10	0.1	6	4
[50，60）	10	0.1	3	7
[60，70）	5	0.05	1	4
[70，80）	3	0.03	1	2
[80，90）	2	0.02	0	2
合計	100	1.00	45	55

完成頻率分布直方圖如下：

30歲以下頻率為：0.1+0.15+0.25=0.5，
以頻率作為概率，估計2017年7月1日當(dāng)日接待游客中30歲以下人數(shù)為：
12000×0.5=6000；
（2）完成表格，如下：

	50歲以上	50歲以下	合計
男生	5	40	45
女生	15	40	55
合計	20	80	100

K²=$\frac{100{×（5×40-15×40）}^{2}}{20×80×45×55}$=$\frac{400}{99}$≈4.04＜5.024，
所以沒有97.5%的把握認(rèn)為在觀花游客中“年齡達(dá)到50歲以上”與“性別”相關(guān)；
（3）由分層抽樣應(yīng)從這10人中抽取50歲以上人數(shù)：10×0.2=2人，50歲以下人數(shù)ξ的取值可能0，1，2；
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{28}{45}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{8}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{16}{45}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{45}$；
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{28}{45}$	$\frac{16}{45}$	$\frac{1}{45}$

數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×$\frac{28}{45}$+1×$\frac{16}{45}$+2×$\frac{1}{45}$=$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查了概率的求法問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用問題，是中檔題．