Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與拋物線y²=8x有一個共同的焦點(diǎn)F，兩曲線的一個交點(diǎn)P，若|PF|=5，則點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線和雙曲線有相同的焦點(diǎn)求得p和c的關(guān)系，根據(jù)拋物線的定義可以求出P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程與p=2c，b²=c²-a²，解得a，b，得到漸近線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式計算即可得到．

解答 解：∵拋物線y²=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（2，0），p=4，
拋物線的焦點(diǎn)和雙曲線的焦點(diǎn)相同，
∴p=2c，即c=2，
∵設(shè)P（m，n），由拋物線定義知：
|PF|=m+$\frac{p}{2}$=m+2=5，∴m=3．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，$±2\sqrt{6}$）
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=4}\\{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{24}{^{2}}=1}\end{array}\right.$解得：a=1，b=$\sqrt{3}$，
則漸近線方程為y=$±\sqrt{3}$x，
即有點(diǎn)F到雙曲線的漸進(jìn)線的距離為d=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了雙曲線，拋物線的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．解答關(guān)鍵是利用性質(zhì)列出方程組．