Question

20．若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，但當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x+1}$-log₂（x+1），則滿足4f（x+1）＞7的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　�。�

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（3，+∞）
• C． （-4，2）
• D． （-∞，-4）

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合f（-3）=$\frac{7}{4}$，求得x的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0．
∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
設(shè)x＜0，則-x＞0，∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x+1}$-log₂（x+1），
∴f（-x）=$\frac{1}{1-x}$-log₂（1-x）=-f（x），∴f（x）=$\frac{1}{x-1}$+log₂（1-x），
故有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x+1}{-log}_{2}（x+1），x＞0}\\{0，x=0}\\{\frac{1}{x-1}{+log}_{2}（1-x），x＜0}\end{array}\right.$，它的單調(diào)性示意圖如圖所示：
故當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜1；當(dāng) x＜0時(shí)，f（x）＞-1．
∵f（3）=-$\frac{7}{4}$，∴f（-3）=$\frac{7}{4}$，
不等式4f（x+1）＞7，即 f（x+1）＞$\frac{7}{4}$=f（3），
若x+1＞0，f（x+1）＞$\frac{7}{4}$ 不可能；
若x+1＜0，則x+1＜-3，∴x＜-4，即實(shí)數(shù)x的取值范圍為（-∞，-4），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，求函數(shù)的解析式，解不等式，屬于中檔題．