Question

9．已知直線l：y=kx+m（m為常數）和雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1恒有兩個公共點，則斜率k的取值范圍為（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 法一、由題意畫出圖形，求出雙曲線的漸近線方程，結合對任意實數m，直線l：y=kx+m（m為常數）和雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1恒有兩個公共點即可得到k的取值范圍；
法二、聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，由二次項系數不為0，且判別式大于0恒成立即可求得k的范圍．

解答 解：法一、由雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1，得a²=9，b²=4，∴a=3，b=2．
∴雙曲線的漸近線方程為y=$±\frac{2}{3}x$，
如圖，

∵直線l：y=kx+m（m為常數）和雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1恒有兩個公共點，
∴$-\frac{2}{3}$＜k＜$\frac{2}{3}$．
法二、聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（4-9k²）x²-18kmx-9m²-36=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-9{k}^{2}≠0}\\{△=324{k}^{2}{m}^{2}+（16-36{k}^{2}）（9{m}^{2}+36）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k≠±\frac{2}{3}}\\{3{6}^{2}•{k}^{2}＜144{m}^{2}+16×36}\end{array}\right.$，∴$-\frac{2}{3}＜k＜\frac{2}{3}$．
故答案為：（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．