Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）若在上存在兩個極值點，求的取值范圍；

（Ⅱ）若，函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，且線段的中點為，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）依題意在上存在兩個極值點，等價于在有兩個不等實根，由參變分類可得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值，從而得到參數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）由題解得，，要證成立，只需證：，即：，只需證：，設(shè)，即證：，再分別證明，即可；

解：（Ⅰ）由題意可知，，

在上存在兩個極值點，等價于在有兩個不等實根，

由可得，，令，

則，令，

可得，當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減，且

當(dāng)時，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，單調(diào)遞減；

所以是的極大值也是最大值，又當(dāng)，當(dāng)大于0趨向與0，

要使在有兩個根，則，

所以的取值范圍為；

（Ⅱ）由題解得，，要證成立，

只需證：

即：，

只需證：

設(shè)，即證：

要證，只需證：

令，則

在上為增函數(shù)

，即成立；

要證，只需證明：

令，則

在上為減函數(shù)，，即成立

成立，所以成立.