Question

已知△ABC的周長為6，|

BC

|，|

CA

|，|

AB

|成等比數列，求：
（1）△ABC的面積S的最大值；
（2）

BA

•

BC

的取值范圍．

Answer 1

分析：設出三向量的模分別為a，b及c，根據周長為6列出關于a+b+c=6，再由a，b及c成等邊數列，根據等邊數列的性質得到b²=ac，然后由余弦定理表示出cosB，把b²=ac代入，并利用基本不等式求出cosB的最小值，根據余弦函數的圖象得到B的范圍，同時由b=

ac

及基本不等式列出關于b的不等式，求出不等式的解集得到b的范圍，根據三角形的兩邊之差小于第三邊列出不等式，由三角形的周長及b²=ac，得到關于b的一元二次不等式，求出不等式的解集可得b的范圍，
（1）由a，b及sinB，根據三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把ac化為b²后，根據b的最大值及B度數的最大值，得到S的最大值即可；
（2）根據平面向量的數量積運算法則表示出

BA

•

BC

得到一個關系式，利用余弦定理表示出cosB后，代入表示出的關系式中，配方并根據周長及b²=ac化為關于b的關系式，再配方得到關于b的二次函數，由自變量b的范圍，根據二次函數的圖象與性質得到函數值的范圍，即為

BA

•

BC

的取值范圍．

解答：解：設|

BC

|，|

CA

|，|

AB

|依次為a，b，c，則a+b+c=6，b²=ac，
由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，故有0＜B≤

π

3

，
又b=

ac

≤

a+c

2

=

6-b

2

，從而0＜b≤2
∵△ABC三邊依次為a，b，c，則a-c＜b，即有（a-c）²＜b²，
∵a+b+c=6，b²=ac，b²＞（a+c）²-4ac，
∴b²+3b-9＞0，b＞

-3+3 5

2

，
∴

-3+3 5

2

＜b≤2，
（1）所以S=

1

2

acsinB=

1

2

b2sinB≤

1

2

•22•sin

π

3

=

3

，即Smax=

3

；
（2）所以

BA

•

BC

=accosB=

a2+c2-b2

2

=

(a+c)2-2ac-b2

2

=

(6-b)2-3b2

2

=-(b+3)2+27，
∵

-3+3 5

2

＜b≤2，
∴2≤

BA

•

BC

＜

27-9 5

2

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有等比數列的性質，余弦定理，基本不等式，一元二次不等式的解法，三角形的面積公式，平面向量的數量積運算，以及二次函數最值的求法，其中根據余弦定理，等比數列的性質及不等式的解法得出B及b的范圍是解本題的關鍵．