Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2xlnx﹣x2+2ax，其中a＞0．
（1）設g（x）是f（x）的導函數(shù)，求函數(shù)g（x）的極值；
（2）是否存在常數(shù)a，使得x∈[1，+∞）時，f（x）≤0恒成立，且f（x）=0有唯一解，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=2xlnx﹣x2+2ax，（x＞0）求導，g（x）=f′（x）=2lnx+2﹣2x+2a，（x＞0）

g′（x）= ﹣2=﹣ ，（x＞0）

當0＜x＜1時，g′（x）＞0，當x＞1時，g′（x）＜0，

g（x）在（0，1）單調(diào)遞增；在（1，+∞）單調(diào)遞減，

∴當x=1時，取極大值，極大值為g（1）=2a，無極小值

（2）解：由（1）知：f′（1）=2a＞0，且f′（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，且x→+∞時，f′（x）＜0，

則必然存在x0＞1，使得f（x）在（1，x0）單調(diào)遞增，（x0，+∞）單調(diào)遞減；

且f′（x0）=2lnx0+2﹣2x0+2a=0，即a=﹣lnx0﹣1+x0，①

此時：當x∈[1，+∞）時，由題意知：只需要找實數(shù)a使得f（x）max=f（x0）=0，

f（x0）=2x0lnx0﹣x02+2ax0，將①式代入知：

f（x0）=2x0lnx0﹣x02+2ax0=2x0lnx0﹣x02+2x0（﹣lnx0﹣1+x0）=x02﹣2x0=0，

得到x0=2，從而a=﹣lnx0﹣1+x0=1﹣ln2，

∴a的值為1﹣ln2

【解析】（1）求導，求得g（x）=2lnx+2﹣2x+2a，（x＞0）求導，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，即可求得函數(shù)g（x）的極值；（2）由（1）可知：必然存在x0＞1，使得f（x）在（1，x0）單調(diào)遞增，（x0，+∞）單調(diào)遞減，且f′（x0）=0，求得a的表達式，存在a使得f（x）max=f（x0）=0，代入即可求得x0，即可求得a的值．
【考點精析】關于本題考查的函數(shù)的極值與導數(shù)，需要了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．