Question

16．已知圓x²+y²=16的圓心為P，點Q（a，b）在圓P外，以PQ為直徑作圓M與圓P相交于A，B兩點．
（1）試確定直線QA，QB與圓P的位置關系，若QA=QB=3，寫出點Q所在曲線的方程；
（2）若a=4，b=6，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知可得∠PAQ=∠PBQ=90°，故直線QA，QB與圓P相切，QA=QB=3，則PQ=5，進而可得點Q所在曲線的方程；
（2）若a=4，b=6，圓M的方程為：（x-2）²+（y-3）²=13，與圓x²+y²=16相減可得公共弦AB所在的直線方程．

解答 解：（1）∵以PQ為直徑作圓M與圓P相交于A，B兩點．
∴∠PAQ=∠PBQ=90°，
故直線QA，QB與圓P相切，
若QA=QB=3，則PQ=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
故Q點在以P（0，0）為圓心，以5為半徑的圓上，
即點Q所在曲線的方程為x²+y²=25（7分），
（2）若a=4，b=6，
則PM=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
故圓M的圓心為（2，3），半徑為$\sqrt{13}$，
故圓M的方程為：（x-2）²+（y-3）²=13，
與圓x²+y²=16相減可得：4x+6y=16，
故直線AB的方程的方程為：2x+3y-8=0

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，圓的標準方程，兩圓相交時的公共弦方程，難度中檔．