Question

【題目】等腰三角形ABC，E為底邊BC的中點(diǎn)，沿AE折疊，如圖，將C折到點(diǎn)P的位置，使P﹣AE﹣C為120°，設(shè)點(diǎn)P在面ABE上的射影為H．
（1）證明：點(diǎn)H為EB的中點(diǎn)；
（2）若 ，求直線BE與平面ABP所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：依題意，AE⊥BC，則AE⊥EB，AE⊥EP，EB∩EP=E．

∴AE⊥面EPB．

故∠CEP為二面角C﹣AE﹣P的平面角，則點(diǎn)P在面ABE上的射影H在EB上．

由∠CEP=120°得∠PEB=60°．

∴EH= EP= ．

∴H為EB的中點(diǎn)．

（2）解：過H作HM⊥AB于M，連PM，過H作HN⊥PM于N，連BN，

則有三垂線定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，

∴HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影為NB．

∴∠HBN為直線BE與面ABP所成的角．

依題意，BE= BC=2，BH= BE=1．

在△HMB中，HM= ，

在△EPB中，PH= ，

∴在Rt△PHM中，HN= ．

∴sin∠HBN= ．

【解析】（1）證明：∠CEP為二面角C﹣AE﹣P的平面角，則點(diǎn)P在面ABE上的射影H在EB上，即可證明點(diǎn)H為EB的中點(diǎn)；（2）過H作HM⊥AB于M，連PM，過H作HN⊥PM于N，連BN，則有三垂線定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影為NB，∠HBN為直線BE與面ABP所成的角，即可求直線BE與平面ABP所成角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】利用空間角的異面直線所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．