Question

2．已知拋物線C：x²=2py（p＞0），圓O：x²+y²=1．
（1）若拋物線C的焦點F在圓上，且A為 C和圓 O的一個交點，求|AF|；
（2）若直線l與拋物線C和圓O分別相切于點M，N，求|MN|的最小值及相應p的值．

Answer 1

分析 （1）求出F（0，1），得到拋物線方程，聯(lián)立圓的方程與拋物線方程，求出A的縱坐標，然后求解|AF|．
（2）設M（x₀，y₀），求出切線l：y=$\frac{{x}_{0}}{p}$（x-x₀）+y₀，通過|ON|=1，求出p=$\frac{2{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-1}$且${{y}_{0}}^{2}$-1＞0，求出|MN|²的表達式，利用基本不等式求解最小值以及p的值即可．

解答 解：（1）由題意得F（0，1），從而有C：x²=4y．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得y_A=$\sqrt{5}$-2，所以|AF|=$\sqrt{5}$-1．…（5分）
（2）設M（x₀，y₀），則切線l：y=$\frac{x0}{p}$（x-x₀）+y₀，
整理得x₀x-py-py₀=0．…（6分）
由|ON|=1得|py₀|=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{p}^{2}}$=$\sqrt{2p{y}_{0}+{p}^{2}}$，
所以p=$\frac{2{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-1}$且${{y}_{0}}^{2}$-1＞0，…（8分）
所以|MN|²=|OM|²-1=${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$-1=2py₀+${{y}_{0}}^{2}$-1
=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}-1}$+${{y}_{0}}^{2}$-1=4+$\frac{4}{{{y}_{0}}^{2}-1}$+（${{y}_{0}}^{2}$-1）≥8，當且僅當y₀=$\sqrt{3}$時等號成立，
所以|MN|的最小值為2$\sqrt{2}$，此時p=$\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，拋物線方程的求法，拋物線與圓的位置關系的應用，考查計算能力．